[论文解读] Function Approximation with Quantum Circuit

Alberto Delgado|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2018

Numerical Methods and Algorithms参考文献 4被引用 3

一句话总结

该论文提出了一种两量子比特参数化量子线路，通过使用对角算符的期望值来近似函数，并通过泰勒展开证明其可表示三次多项式。仿真结果表明，该方法对二次函数、高斯函数和S型函数均实现了低误差的高精度近似，验证了其在量子增强机器学习组件中的潜力。

ABSTRACT

A mathematical proposition with a trainable pair, operator and quantum circuit, are introduced to approximate functions expressed as cubic Taylor polynomials, numerical simulations illustrate three cases.

研究动机与目标

• 证明参数化量子线路可通过可训练参数和算符近似复杂函数。
• 从数学上证明量子线路的期望值可通过泰勒级数展开表示三次多项式。
• 表明在神经网络中基础的S型函数可被量子线路有效近似。
• 评估小型量子线路在非多项式函数（如高斯函数和S型函数）上的近似性能。
• 探索量子线路复杂度与近似精度之间的权衡。

提出的方法

• 使用旋转门 R(x−θi) 和 Hadamard 门构建两量子比特参数化量子线路，初始化为 |00⟩。
• 线路酉操作 U 定义为 R(x−θ2)⊗R(x−θ1)(H⊗H)，将输入 x 编码为量子态 |ψ(θ1,θ2,x)⟩。
• 通过具有 g0 到 g3 元素的对角算符 G 计算期望值 ⟨G⟩，结果为 x 的三次多项式。
• 三次多项式系数 a0 到 a3 为 θ1、θ2 和 G 的对角元素的函数。
• 在 [−1.5, 1.5] 区间内选取 30 个样本，使用基于趋化运动的优化算法最小化性能指标 J = Σ(f(xk)−f̂(xk))²。
• 理论推导表明，旋转门振幅的泰勒展开产生二次振幅，从而导致三次期望值。

实验结果

研究问题

• RQ1 两量子比特参数化量子线路能否通过其期望值近似三次多项式？
• RQ2 此类线路在多大程度上可近似高斯函数和S型函数等非多项式函数？
• RQ3 近似误差如何与量子线路复杂度和参数调优相关？
• RQ4 量子线路的期望值能否作为神经网络中关键激活函数的通用函数近似器？
• RQ5 基于生物启发的优化算法在训练量子线路进行函数近似方面的表现如何？

主要发现

• 两量子比特量子线路的期望值 ⟨G⟩ 在数学上被证明可表示为具有可调系数的 x 的三次多项式。
• 对于二次函数 f(x) = x²，经过 5000 次迭代后，最终性能指标 J 为 0.03，参数为 θ = [1.373, 1.770]，G 的对角元素为 [-0.081, 2.260, 2.272, 4.954]。
• 对于高斯函数 f(x) = e⁻ˣ²，近似结果的 J = 0.005，参数为 θ = [0.497, -0.498]，G = diag[-0.088, 1.152, 1.711, -0.089]。
• S型函数 f(x) = tanh(x) 的近似结果为 J = 0.006，参数为 θ = [0.266, 0.069]，G = diag[-0.885, 0.055, 0.466, 0.931]。
• 仿真结果证实，该量子线路可对通用函数类（包括对神经网络至关重要的函数）实现低误差近似。
• 近似误差对线路复杂度和参数调优敏感，J 值越小表示对平滑函数的保真度越高。