[论文解读] Function recovery on manifolds using scattered data

David Krieg, Mathias Sonnleitner|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2021

Numerical methods in inverse problems被引用 4

一句话总结

本文在紧致黎曼流形上对散乱采样点的质量进行了精确表征，证明了最坏情况下的函数恢复误差由采样点集的测地距离在 $L_\gamma(M)$-平均下的表现决定，其中 $\gamma = d/s$，且 $s > d/p$。研究证明，当 $\gamma < \infty$ 时，随机采样在渐近意义上与最优采样同样有效，从而填补了立方公式效率中长期存在的对数差距。

ABSTRACT

We consider the task of recovering a Sobolev function on a connected compact Riemannian manifold $M$ when given a sample on a finite point set. We prove that the quality of the sample is given by the $L_γ(M)$-average of the geodesic distance to the point set and determine the value of $γ\in (0,\infty]$. This extends our findings on bounded convex domains [IMA J. Numer. Anal., 44:1346--1371, 2024]. As a byproduct, we prove the optimal rate of convergence of the $n$-th minimal worst case error for $L_q(M)$-approximation for all $1\le q \le \infty$. Further, a limit theorem for moments of the average distance to a set consisting of i.i.d.\ uniform points is proven. This yields that a random sample is asymptotically as good as an optimal sample in precisely those cases with $γ&lt;\infty$. In particular, we obtain that cubature formulas with random nodes are asymptotically as good as optimal cubature formulas if the weights are chosen correctly. This closes a logarithmic gap left open by Ehler, Gräf and Oates [Stat. Comput., 29:1203-1214, 2019].

研究动机与目标

• 在紧致黎曼流形上，表征从散乱数据恢复 Sobolev 函数的最坏情况误差。
• 确定恢复误差对采样点分布的依赖关系，特别是其空间分布特性。
• 建立随机采样在何时渐近意义上与最优选择的采样点同样有效的条件。
• 填补随机立方公式效率与最优公式之间长期存在的对数差距。

提出的方法

• 在紧致黎曼流形上使用贝塞尔势（Sobolev）空间 $H^s_p(M)$ 来建模函数的正则性。
• 定义一般和线性重构映射在 $L_q(M)$-范数下的最坏情况恢复误差。
• 引入一种基于流形上点到采样集 $P$ 的测地距离在 $L_\gamma(M)$-平均下的几何质量度量。
• 证明恢复误差与该 $L_\gamma$-平均距离等价（至多相差常数倍），其中 $\gamma = d/s$。
• 利用概率论与几何论证，分析独立同分布的均匀采样点下平均距离的矩。
• 应用控制收敛定理与勒贝格微分定理，证明矩生成函数的收敛性，从而证明随机采样与最优采样在渐近意义下的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在紧致黎曼流形上，散乱点集的何种几何性质决定了 Sobolev 函数恢复的最坏情况误差？
• RQ2 在函数恢复中，随机采样在何种 $\gamma$ 值下渐近意义上与最优采样同样有效？
• RQ3 当权重选择得当时，随机节点的立方公式误差能否与最优公式相匹配？
• RQ4 测地距离的 $L_\gamma$-平均与散乱数据逼近能力之间有何关系？

主要发现

• 在 $H^s_p(M)$ 中，函数的最坏情况恢复误差与采样集的测地距离在 $L_\gamma(M)$-平均下等价，其中 $\gamma = d/s$。
• 当 $\gamma < \infty$ 时，随机采样在函数恢复中渐近意义上与最优采样同样有效。
• 当权重选择得当时，随机节点的立方公式可达到与最优立方公式相同的渐近误差率。
• 平均距离矩的极限定理证实，在 $\gamma < \infty$ 的情形下，随机点集可实现最优渐近性能。
• 该结果将先前在凸区域上的结论推广至一般紧致黎曼流形，包括球面及其他曲面空间。
• 对所有有限点集 $P$，均有等价关系 $e(P, H^s_p(M), L_q(M)) \asymp \| \operatorname{dist}_M(\cdot, P) \|_{L_\gamma(M)}$ 成立。