[论文解读] Function spaces and capacity related to a Sublinear Expectation: application to G-Brownian Motion Pathes

Laurent Denis, Mingshang Hu+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2008

Risk and Portfolio Optimization参考文献 14被引用 45

一句话总结

本文建立了 $L^1_G(\Omega)$ 作为具有拟连续版本并满足 $G$-期望下一致可积性条件的随机变量空间的识别。证明了 $L_{ip}(\Omega)$ 的 $\mathbb{E}[\cdot]$-范数完备化与 $C_b(\Omega)$ 的 $\hat{\mathbb{E}}[\cdot]$-完备化一致，解决了亚线性期望理论中的基础性问题，并为波动率不确定性下的路径依赖风险度量提供了应用支持。

ABSTRACT

In this paper we give some basic and important properties of several typical Banach spaces of functions of $G$-Brownian motion pathes induced by a sublinear expectation--G-expectation. Many results can be also applied to more general situations. A generalized version of Kolmogorov's criterion for continuous modification of a stochastic process is also obtained. The results can be applied to continuous time dynamic and coherent risk measures in finance in particular for path-dependence risky positions under situations of volatility model uncertainty.

研究动机与目标

• 为解决 $L^1_G(\Omega)$ 中元素是否可识别为具有拟连续版本的可测随机变量这一基础性问题。
• 在亚线性期望框架下，刻画 $L_{ip}(\Omega)$ 与 $C_b(\Omega)$ 的 $\mathbb{E}[\cdot]$-范数完备化。
• 在 $G$-布朗运动背景下，建立连续修正的广义柯尔莫哥洛夫准则。
• 为金融中波动率不确定性下的动态与一致风险度量提供严格的泛函分析基础。

提出的方法

• 利用 $G$-期望作为一族概率测度 $\mathscr{P}$ 上线性期望上确界的表示。
• 应用 Stone-Weierstrass 定理，通过 $L_{ip}$ 函数逼近路径空间紧子集上的有界连续函数。
• 利用概率族 $\mathscr{P}$ 的紧致性，构造具有可控容量的逼近序列。
• 引入拟连续性的概念，并利用容量 $c(A) = \sup_{P \in \mathscr{P}} P(A)$ 定义拟必然性质。
• 建立 $L^1_G(\Omega_T)$ 与满足 $\lim_{n \to \infty} \hat{\mathbb{E}}[|X| \mathbf{1}_{\{|X| > n\}}] = 0$ 的随机变量空间之间的等价性。
• 证明对所有 $X \in L^1_G(\Omega)$，有 $\mathbb{E}[X] = \hat{\mathbb{E}}[X]$，将 $G$-期望与鲁棒上期望联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否每个 $L^1_G(\Omega)$ 中的元素都可识别为具有拟连续版本的 $\mathscr{F}$-可测随机变量？
• RQ2 $L_{ip}(\Omega)$、$C_b(\Omega)$ 与 $B_b(\Omega)$ 的 $\mathbb{E}[\cdot]$-完备化之间存在何种关系？
• RQ3 $G$-期望是否在 $L^1_G(\Omega)$ 上与鲁棒上期望 $\hat{\mathbb{E}}[X] = \sup_{P \in \mathscr{P}} E_P[X]$ 一致？
• RQ4 能否在亚线性期望框架下建立连续修正的广义柯尔莫哥洛夫准则？
• RQ5 $c(A)$ 与 $\bar{c}(A)$ 之间的关系如何？它们在刻画 $L^1_G$ 空间中起什么作用？

主要发现

• 空间 $L^1_G(\Omega_T)$ 被刻画为所有满足 $\lim_{n \to \infty} \hat{\mathbb{E}}[|X| \mathbf{1}_{\{|X| > n\}}] = 0$ 的 $X \in L^0(\Omega_T)$ 的集合，且其具有拟连续版本。
• $L_{ip}(\Omega_T)$ 的 $\mathbb{E}[\cdot]$-范数完备化等于 $C_b(\Omega_T)$ 的 $\mathbb{E}[\cdot]$-范数完备化，表明 $L^1_G(\Omega_T)$ 是 $C_b(\Omega_T)$ 在 $\hat{\mathbb{E}}[\cdot]$ 下的闭包。
• 对所有 $X \in L^1_G(\Omega)$，有 $\mathbb{E}[X] = \hat{\mathbb{E}}[X] = \sup_{P \in \mathscr{P}} E_P[X]$。
• $L_{ip}(\Omega)$ 的 $\mathbb{E}[\cdot]$-完备化是 $B_b(\Omega)$ 的 $\mathbb{E}[\cdot]$-完备化的真子空间，表明函数空间完备化存在层级结构。
• $c(A)$ 与 $\bar{c}(A)$ 在拟连续性意义上等价，因此一个函数是 $c$-拟连续的当且仅当它是 $\bar{c}$-拟连续的。
• 在 $G$-期望背景下建立了连续修正的广义柯尔莫哥洛夫准则，将经典结果推广至亚线性设定。