[论文解读] Functional approach to coherent states in non commutative theories

Musongela Lubo|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2003

Noncommutative and Quantum Gravity Theories被引用 1

一句话总结

本文提出一种变分原理，通过最小化平方海森堡不确定性关系之和，在非对易理论中构造相干态，推广了标准量子力学中的高斯态和合流超几何态。该方法导出二阶偏微分方程，并在三种四维非对易模型中获得解析解，包括具有最小长度不确定性和常数位置对易子的模型，同时突出了破坏谐振子周期性的结构性差异。

ABSTRACT

In many high dimensional noncommutative theories, no state saturates simultaneously all the non trivial Heisenberg uncertainty relations. This differs from the usual theory where the squeezed states possess this property. The important role played by these states when recovering classical mechanics as a limit of quantum theory makes necessary the investigation of the possible generalizations in the noncommutative context. We propose an extension based on a variational principle. The action considered is the sum of the squares of the terms associated to the non trivial Heisenberg uncertainty relations. We first verify that our proposal works in the usual theory: we find the known gaussian functions and, besides them, other states which can be expressed as products of gaussians with specific hypergeometrics. We illustrate our construction in three models defined on a four dimensional phase space: two models endowed with a minimal length uncertainty and the popular case in which the commutators of the positions are constants. In these three models, our proposal leads to second order partial differential equations. We find analytical solutions in specific cases. We briefly discuss how our method may be applied to the fuzzy sphere. To emphasize that the recovering of classical behaviours is not a trivial question in the non commutative context, we show how the difference of structure between the Poisson brackets and the commutators in the theories analyzed here generically leads to a loss of periodicity for the harmonic oscillator.

研究动机与目标

• 解决高维非对易理论中缺乏同时饱和所有非平凡海森堡不确定性关系的态的问题，这与标准量子力学中的情况不同。
• 在非对易框架中推广压缩态的关键作用——即恢复经典极限——的角色。
• 为在传统方法失效的非对易理论中系统地构造相干态提供一种方法。
• 研究泊松括号与对易子之间的结构性差异对经典行为的影响，特别是谐振子中的周期性。

提出的方法

• 制定一种变分原理，以最小化非平凡海森堡不确定性关系项的平方和。
• 应用作用量原理，推导出描述非对易模型中相干态的二阶偏微分方程。
• 在具有最小长度不确定性或常数位置对易子的四维相空间特定情况下，解析求解所得方程。
• 在标准量子力学极限下重现已知的高斯态和合流超几何态，以验证该方法的有效性。
• 将框架扩展至非对易几何中的潜在应用，如模糊球面。
• 通过比较泊松括号与对易子分析经典极限，评估谐振子中周期性的损失。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以提出一种统一的变分原理，生成在非对易理论中饱和多个不确定性关系的相干态，类似于标准量子力学中的压缩态？
• RQ2 非对易理论中泊松括号与对易子之间的结构性差异如何影响经典极限，特别是谐振子中的周期性？
• RQ3 从推导出的二阶偏微分方程中，在具有最小长度不确定性的非对易模型中会涌现出哪些解析解？
• RQ4 该方法能否扩展至非对易几何（如模糊球面）？
• RQ5 所提出的形式化对在非对易设定下恢复经典力学有何影响？

主要发现

• 变分方法在对易极限下成功重现了标准的高斯态和合流超几何态，验证了其与已知量子力学的一致性。
• 该方法在三个非对易模型中导出了二阶偏微分方程：其中两个具有最小长度不确定性，一个具有常数位置对易子。
• 在所提模型的特定情况下获得了解析解，证明了该方法的可处理性。
• 该框架揭示了非对易理论中泊松括号与对易子之间的差异通常会导致谐振子中周期性的丧失，对经典恢复构成挑战。
• 该方法为在通常无态能同时饱和所有不确定性关系的非对易理论中系统构造相干态提供了可行路径。