[论文解读] Functional central limit theorems for epidemic models with varying infectivity

Guodong Pang, Étienne Pardoux|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2020

COVID-19 epidemiological studies参考文献 25被引用 10

一句话总结

该论文为具有时变传染性的随机流行病模型建立了泛函中心极限定理（FCLTs），其中个体的传染性被建模为感染时长的随机函数。易感者、感染者和康复者过程的扩散缩放波动极限由二维高斯驱动随机沃尔特拉积分方程的解所刻画，将经典FCLTs推广至非马尔可夫、依赖感染时长的设定，并适用于一般传染期分布。

ABSTRACT

In this paper, we prove functional central limit theorems (FCLTs) for a stochastic epidemic model with varying infectivity and general infectious periods recently introduced in Forien, Pang and Pardoux (2020).The infectivity process (total force of infection at each time) is composed of the independent infectivity random functions of each infectious individual, which starts at the time of infection. These infectivity random functions induce the infectious periods (as well as exposed, recovered or immune periods in full generality), whose probability distributions can be very general. The epidemic model includes the generalized non-Markovian SIR, SEIR, SIS, SIRS models with infection-age dependent infectivity. In the FCLTs for the generalized SIR and SEIR models, the limits of the diffusion-scaled fluctuations of the infectivity and susceptible processes are a unique solution to a two-dimensional Gaussian-driven stochastic Volterra integral equations, and then given these solutions, the limits for the infected (exposed/infectious) and recovered processes are Gaussian processes expressed in terms of the solutions to those stochastic Volterra integral equations. We also present the FCLTs for the generalized SIS and SIRS models.

研究动机与目标

• 将泛函中心极限定理（FCLTs）推广至传染性依赖于感染时长的流行病模型，其中传染性随时间随机变化。
• 刻画广义SIR和SEIR模型中易感者、感染者和康复者过程围绕其确定性极限的联合扩散缩放波动。
• 建立极限波动由二维高斯驱动随机沃尔特拉积分方程所控制，以捕捉时变传染性和各 compartment 间转移的动力学。
• 为具有广义传染期分布的非马尔可夫流行病过程中的随机波动提供严格的数学框架。
• 证明在适当正则性条件下，缩放过程在右连左极函数空间中的收敛性，确保路径连续性。

提出的方法

• 将每个个体的传染性建模为独立同分布的感染时长随机函数，从零或正值开始，路径为分段连续且仅有有限个间断点。
• 使用右连左极函数空间上的泊松随机测度（PRMs）来表示传染个体的到达及其传染性轨迹。
• 通过补偿泊松随机测度处理鞅分量，将总传染性过程分解为确定性极限与波动项。
• 通过用其确定性极限替换随机传染率，构造辅助过程以促进收敛性分析。
• 应用随机过程上确界矩估计及D([0,∞);ℝ)中的紧致性准则，证明缩放过程的弱收敛性。
• 推导出易感者与传染性过程联合动态的极限随机沃尔特拉积分方程，其余状态变量以这些解的泛函形式表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 当传染性随感染时长变化且非马尔可夫时，流行病动力学中的随机波动行为如何？
• RQ2 在具有时变传染性的广义SIR模型中，易感者、感染者和康复者扩散缩放过程的极限分布是什么？
• RQ3 能否通过一个高斯驱动的随机沃尔特拉积分方程来刻画易感者与传染性过程的联合收敛？
• RQ4 在SEIR模型中引入潜伏期（E）和传染期（I）状态，相较于SIR模型，如何改进FCLT？
• RQ5 为确保缩放流行病过程的弱收敛性，传染性函数与分布需满足哪些必要条件？

主要发现

• 易感者与传染性过程的极限扩散缩放波动被唯一确定为一个二维高斯驱动随机沃尔特拉积分方程。
• 感染者（及潜伏/传染期）与康复者过程的极限可表示为该随机沃尔特拉方程解的泛函，当确定性极限连续时，可保证路径连续性。
• FCLT的驱动高斯过程与初始波动无关，其协方差结构与S=1−I−R的SEIR模型中的结构等价。
• 在传染性函数满足较弱正则性条件（如分段连续且仅有有限个间断点）下，FCLT成立。
• 收敛性在[0,∞)上的右连左极函数空间中建立，紧致性由矩估计及[4]中定理13.5的修改版本保证。
• 结果通过引入感染时长依赖的传染性与一般传染期分布，推广了经典非马尔可夫SIR与SEIR模型的FCLTs。