[论文解读] Functional Dynamics II : Syntactic Structure

Naoto Kataoka, Kunihiko Kaneko|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 1999

Fractal and DNA sequence analysis参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文通过将动力学分解为固定与非固定分量，将功能动力学扩展至建模复杂系统中的层次句法结构，生成递归的元图谱，从而产生超指数轨道不稳定的元混沌。研究表明，当初始函数在有限区间内为恒等函数时，可嵌入任意一维映射，将该框架与生物及语言句法形成联系。

ABSTRACT

Functional dynamics, introduced in a previous paper, is analyzed, focusing on the formation of a hierarchical rule to determine the dynamics of the functional value. To study the periodic (or non-fixed) solution, the functional dynamics is separated into fixed and non-fixed parts. It is shown that the fixed parts generate a 1-dimensional map by which the dynamics of the functional values of some other parts are determined. Piecewise-linear maps with multiple branches are generally created, while an arbitrary one-dimensional map can be embedded into this functional dynamics if the initial function coincides with the identity function over a finite interval. Next, the dynamics determined by the one-dimensional map can again generate a `meta-map', which determines the dynamics of the generated map. This hierarchy of meta-rules can continue recursively. It is also shown that the dynamics can produce `meta-chaos' with an orbital instability that is stronger than exponential. The relevance of the generated hierarchy to biological and language systems is discussed, in relation with the formation of syntax of a network.

研究动机与目标

• 为功能动力学的形式化层次规则系统，以控制复杂网络中的句法结构形成。
• 通过将动力学分解为固定与非固定分量，分析周期性与非固定解。
• 研究一维映射如何从固定部分产生，并递归生成更高阶的元图谱。
• 探讨动力学中元混沌的出现，其不稳定性强于指数增长。
• 建立生成的层次结构与生物及语言系统中句法组织之间的联系。

提出的方法

• 将功能动力学分解为固定与非固定部分，以隔离控制功能值演化的分量。
• 从固定部分推导出决定其他分量动力学的一维映射。
• 使用具有多分支的分段线性映射来建模生成的动力学，展示映射表示的普遍性。
• 若初始函数在有限区间内为恒等函数，则可将任意一维映射嵌入该系统。
• 构建元图谱的递归层次结构，其中每一层决定前一层映射的动力学。
• 通过轨道不稳定性分析识别元混沌，其特征为不稳定性强于指数增长。

实验结果

研究问题

• RQ1 功能动力学如何生成用于句法结构形成的层次规则系统？
• RQ2 在何种条件下，可将一维映射嵌入功能动力学框架中？
• RQ3 递归元图谱如何从固定与非固定分量的动力学中产生？
• RQ4 元图谱层次中出现何种动力学不稳定性，其与标准混沌有何不同？
• RQ5 该框架在何种方式下可建模生物与语言系统中观察到的句法组织？

主要发现

• 功能动力学的固定部分生成一维映射，决定其他分量的动力学，从而实现对功能值演化系统的系统性分析。
• 通常生成具有多分支的分段线性映射，且若初始函数在有限区间内为恒等函数，则可嵌入任意一维映射。
• 一维映射的动力学本身可生成更高阶的元图谱，从而启动元规则的递归层次结构。
• 递归结构导致元混沌，其特征为轨道不稳定性强于指数增长，表明高阶动力学具有极端敏感性。
• 层次化功能动力学框架为复杂系统（包括生物与语言网络）中句法的出现提供了合理的机制。