[论文解读] Functional inequalities derived from the Brunn-Minkowski inequalities for quermassintegrals

Andrea Colesanti, Eugenia Saor|ArXiv.org|Apr 24, 2008

Point processes and geometric inequalities参考文献 7被引用 13

一句话总结

本文通过利用准质积分的Brunn-Minkowski不等式，推导出单位球面以及$ℝ^n$中光滑凸体边界上的新型Poincaré型不等式。它建立了在面积测度下满足零均值条件的函数的最优加权$L^2$-范数不等式，推广了经典Poincaré不等式，并在高维情形下推广了Wirtinger不等式。

ABSTRACT

We use Brunn-Minkowski inequalities for quermassintegrals to deduce a family of inequalities of Poincaré type on the unit sphere and on the boundary of smooth convex bodies in the $n$-dimensional Euclidean space.

研究动机与目标

• 通过从准质积分导出的几何测度条件，将经典Poincaré不等式和Wirtinger不等式的标准零均值条件进行推广。
• 在单位球面$ℝ^{n-1}$以及$ℝ^n$中$C^2_+$凸体的边界上，建立最优的Poincaré型函数不等式。
• 通过用凸体$K$的首面积测度$A_1(K,\cdot)$替代勒贝格测度，推广经典Poincaré不等式。
• 提供一个充分条件，使得某测度为某凸体的首面积测度，从而将推导出的不等式应用于更广泛的几何背景。
• 通过准质积分理论与Weingarten映射的初等对称函数，统一并推广先前关于Brunn-Minkowski不等式与函数不等式的研究成果。

提出的方法

• 利用准质积分$W_i(K)$的Brunn-Minkowski不等式，即$W_i^{1/(n-i)}$在凸体类上为凹函数。
• 通过支持函数与二阶协变导数，采用准质积分的积分表示，具体为$W_i(K) = c(n,i) \int_{\mathbb{S}^{n-1}} h_K S_{n-i-1}((h_K)_{ij} + h_K \delta_{ij}) \, d\mathscr{H}^{n-1}$。
• 基于$W_i^{1/(n-i)}$的凹性，应用二阶变分方法，推导出涉及Weingarten映射$D\nu$的初等对称函数$S_r$的曲率型条件。
• 通过高斯映射将边界$\partial K$上的不等式转化为球面$\mathbb{S}^{n-1}$上的形式，建立不等式的对偶形式。
• 利用Christoffel问题及Guan, Ma, Sheng, Trudinger, Wang的近期成果，刻画给定测度成为首面积测度$A_1(K,\cdot)$的条件，从而将不等式推广至非光滑情形。
• 应用Blaschke选择定理与面积测度的弱收敛性，从逼近$C^2_+$凸体过渡到极限凸体$L$，其径向函数为$\rho_K = 1/h_H$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用准质积分的Brunn-Minkowski不等式，在球面与凸体边界上推导出新的Poincaré型不等式？
• RQ2 在$\mathbb{S}^{n-1}$上，测度$\mu$需满足何种精确几何条件，才能确保其为某凸体$K$的首面积测度$A_1(K,\cdot)$？
• RQ3 当零均值条件被涉及$A_1(K,\cdot)$的加权均值条件取代时，如何推广$\mathbb{S}^{n-1}$上的经典Poincaré不等式？
• RQ4 当测度为$A_1(K,\cdot)$时，广义Poincaré不等式的最优常数是多少？该常数是否为精确的？
• RQ5 在$\mathbb{S}^{n-1}$上，给定正函数$f$，在何种条件下存在凸体$L$，使得$dA_1(L,\cdot) = f \, d\mathscr{H}^{n-1}$？

主要发现

• 本文建立了定理1与定理2，分别在涉及Weingarten映射初等对称函数的零均值条件下，于$\partial K$与$\mathbb{S}^{n-1}$上给出了最优的Poincaré型不等式。
• 当$K = B$（单位球）时，定理1恢复了$\mathbb{S}^{n-1}$上的经典精确Poincaré不等式：对于满足$\int \phi \, d\mathscr{H}^{n-1} = 0$的函数，有$\int \phi^2 \leq \frac{1}{n-1} \int |\nabla \phi|^2$。
• 定理3通过用首面积测度$A_1(K,\cdot)$替代勒贝格测度，推广了Poincaré不等式，证明了当$\int \phi \, dA_1(K,\cdot) = 0$时，有$\int \phi^2 \, d\mathscr{H}^{n-1} \leq \frac{1}{n-1} \int |\nabla \phi|^2 \, d\mathscr{H}^{n-1}$。
• 当$n=2$时，定理3给出了Wirtinger不等式的全新推广：若$\nu$是$[0,2\pi]$上非负测度，不集中于两点，且满足$\int \cos\theta \, d\nu = \int \sin\theta \, d\nu = 0$，则对$2\pi$-周期函数$\phi$满足$\int \phi \, d\nu = 0$，有$\int \phi^2 \, d\theta \leq \int (\phi')^2 \, d\theta$。
• 定理5给出了函数$f$在$\mathbb{S}^{n-1}$上为$A_1(L,\cdot)$密度的充分条件：若$f = 1/h_H$，其中$H$为凸体，满足$\int x / h_H(x) \, d\mathscr{H}^{n-1}(x) = 0$，且$g_{ij} + g\delta_{ij}$几乎处处为半正定，则这样的$L$存在。
• 定理4的证明表明，若凸体$K$的径向函数为$\rho_K = 1/h_H$，则$\rho_K \, d\mathscr{H}^{n-1}$是某凸体$L$的首面积测度，从而可将定理3应用于$\rho_K$-加权不等式。