[论文解读] Functional Inequalities for Convolution Probability Measures

Feng‐Yu Wang, Jian Wang|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2013

Point processes and geometric inequalities参考文献 20被引用 7

一句话总结

本文建立了对势函数 $V$ 和扰动测度 $\nu$ 的显式充分条件，使得卷积 $\mu * \nu$ 满足对数 Sobolev、Poincar\'e 和超 Poincar\'e 不等式。通过 Lyapunov 型准则与扰动技术，证明了若 $V(x) = \lambda |x|^2$ 且 $\nu(\mathrm{e}^{\lambda\theta|\cdot|^2}) < \infty$ 对 $\theta > 1$ 成立，则 $\mu * \nu$ 满足对数 Sobolev 不等式，从而扩展了关于高斯卷积与紧支集测度结果的先前研究。

ABSTRACT

Let $μ$ and $ν$ be two probability measures on $\R^d$, where $μ(\d x)= \e^{-V(x)}\d x$ for some $V\in C^1(\R^d)$. Explicit sufficient conditions on $V$ and $ν$ are presented such that $μ*ν$ satisfies the log-Sobolev, Poincaré and super Poincaré inequalities. In particular, the recent results on the log-Sobolev inequality derived in \cite{Z} for convolutions of the Gaussian measure and compactly supported probability measures are improved and extended.

研究动机与目标

• 将已知关于概率测度卷积的函数不等式结果，从紧支集扰动情形推广至更一般情形。
• 为势函数 $V$ 与扰动测度 $\nu$ 提供显式且可验证的条件，确保 $\mu * \nu$ 满足对数 Sobolev、Poincar\'e 与超 Poincar\'e 不等式。
• 消除文献中对高斯卷积所要求的维数限制及条件 $\delta > 2R^2d$。
• 在 $V(x) = c + |x|^p$ 情形下，建立超 Poincar\'e 不等式的精确衰减速率，表明其在与紧支集测度卷积下保持稳定。

提出的方法

• 利用文献 [8] 中的 Lyapunov 型准则，推导出 $\mu * \nu$ 满足函数不等式的条件。
• 应用文献 [2] 中的扰动技术，分析 $\nu$ 对 $\mu * \nu$ 的函数不等式性质的影响，尤其针对非紧支集 $\nu$ 的情形。
• 采用超 Poincar\'e 不等式的次可加性论证，通过 $\nabla V$ 与 $\Delta V$ 的增长速率的下确界，推导出常数 $\beta(r)$ 的新函数形式。
• 提出一种新准则：当 $\liminf_{|x|\to\infty} \delta|\nabla V(x)|^2 - \Delta V(x) = \infty$ 对某个 $\delta \in (0,1)$ 成立时，可保证超 Poincar\'e 不等式成立。
• 利用函数 $\psi(r)$ 与 $\tilde{\psi}(r)$ 导出超 Poincar\'e 常数 $\beta(r)$ 的显式上界，其中 $\psi(r)$ 与 $\tilde{\psi}(r)$ 分别量化了 $\nabla V$ 与 $\Delta V$ 的增长行为。
• 将上述结果应用于幂函数型势 $V(x) = c + |x|^p$，得到小 $r$ 时的精确衰减速率 $\beta(r) = \exp\big(cr^{-p/(2(p-1))}\big)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种 $V$ 与 $\nu$ 条件下，卷积 $\mu * \nu$ 满足对数 Sobolev 不等式，其中 $\mu$ 是密度为 $\mathrm{e}^{-V(x)}$ 的测度？
• RQ2 先前关于高斯卷积的研究中，条件 $\delta > 2R^2d$ 是否可在高维情形下被移除？
• RQ3 当 $V(x) = c + |x|^p$ 且 $\nu$ 为紧支集时，$\mu * \nu$ 的超 Poincar\'e 不等式的确切衰减速率为何？
• RQ4 在无穷远处 $\nabla V$ 与 $\Delta V$ 的增长条件如何影响 $\mu * \nu$ 的函数不等式有效性？
• RQ5 超 Poincar\'e 不等式在与紧支集测度卷积下是否稳定？$\beta(r)$ 的精确衰减速率为何？

主要发现

• 若 $V(x) = \lambda |x|^2$ 且 $\nu(\mathrm{e}^{\lambda\theta|\cdot|^2}) < \infty$ 对某个 $\theta > 1$ 成立，则 $\mu * \nu$ 满足对数 Sobolev 不等式。
• 超 Poincar\'e 不等式对 $\mu * \nu$ 成立，且 $\beta(r) = c\big(1 + \alpha(\psi(2/r), r/2)\big)$，其中 $\psi(r)$ 量化了 $\langle \nabla V(x), x \rangle - R|\nabla V(x)|$ 的增长行为。
• 当 $V(x) = c + |x|^p$ 时，对小的 $r > 0$，超 Poincar\'e 不等式成立，且 $\beta(r) = \exp\big(cr^{-p/(2(p-1))}\big)$，该衰减速率是精确的。
• 若存在 $\delta \in (0,1)$ 使得 $\liminf_{|x|\to\infty} \big(\delta|\nabla V(x)|^2 - \Delta V(x)\big) = \infty$，则可保证超 Poincar\'e 不等式成立，且 $\beta(r) = c\big(1 + \alpha(\tilde{\psi}(2/r), r/2)\big)$。
• 超 Poincar\'e 不等式在与紧支集测度卷积下保持稳定，且 $\beta(r)$ 的衰减速率是精确的，即不存在更快的可能速率。
• 对于具有重尾的 $\nu$（如 $\mathrm{e}^{-|z|^q}$ 且 $q < p$），所得卷积 $\mu * \nu$ 仍满足超 Poincar\'e 不等式，其衰减速率为 $\beta(r) = \exp\big(cr^{-q/(2(q-1))}\big)$，且该速率亦为精确的。