[论文解读] Functional inequalities for Gaussian convolutions of compactly supported measures: explicit bounds and dimension dependence

Jean-Baptiste Bardet, Nathaël Gozlan+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 17被引用 22

一句话总结

本文建立了在 $\mathbb{R}^d$ 上，具有紧支集的测度与高斯测度卷积的函数不等式（Poincaré 与对数 Sobolev）的显式、与维度相关的界。证明了无维度依赖的 Poincaré 常数，并在小方差条件下改进了对数 Sobolev 常数的先前界，显示出其在维度上呈线性增长。

ABSTRACT

The aim of this paper is to establish various functional inequalities for the convolution of a compactly supported measure and a standard Gaussian distribution on Rd. We especially focus on getting good dependence of the constants on the dimension. We prove that the Poincar{\\'e} inequality holds with a dimension-free bound. For the logarithmic Sobolev inequality, we improve the best known results (Zimmermann, JFA 2013) by getting a bound that grows linearly with the dimension. We also establish transport-entropy inequalities for various transport costs.

研究动机与目标

• 推导具有紧支集的测度与 $\mathbb{R}^d$ 上高斯测度卷积的函数不等式（Poincaré 与对数 Sobolev）的显式、定量界。
• 改进现有对数 Sobolev 常数的维度依赖界，特别是在低方差区域（$\delta \leq R$）。
• 建立 Poincaré 不等式的无维度依赖界，这对高维概率与统计力学至关重要。
• 分析常数对支集半径 $R$ 与高斯方差 $\delta^2$ 的依赖关系，特别是在高维情形下。
• 通过 $\tau$-性质与凸性技术，将结果与运输-熵不等式联系起来，为函数不等式提供新途径。

提出的方法

• 利用 Bakry-\'Emery 准则与卷积的对数密度的 Hessian 下界，推导 Poincaré 与对数 Sobolev 常数。
• 应用有界随机变量与高斯随机变量的 $\tau$-性质，借助张量化推导运输-熵不等式。
• 采用下确界卷积表示 $Q_s f(x) = \inf_y \{ f(y) + \frac{|x-y|^2}{4s} \}$ 来刻画 $\tau$-性质，并将其与运输成本联系起来。
• 推导关键不等式 $\mathbb{E}[e^{Q_C g(S)}]\mathbb{E}[e^{-g(S)}] \leq 1$，其中 $S = X + \delta Z$，$C = \delta^2 + 4R^2$，以建立运输-熵不等式。
• 通过 Gozlan 等人（2014）已知的等价结果，将运输不等式转化为对数 Sobolev 不等式，得到 $C_{LS} \leq 8C = 8(\delta^2 + 4R^2)$。
• 采用维度特定分析：当 $\delta > R$ 时，导出与维度无关的统一界 $C_d(\delta,R) \leq \frac{\delta^4}{\delta^2 - R^2}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于支集在 $B_d(0,R)$ 内的测度 $\mu$，卷积 $\mu \star \mathcal{N}(0, \delta^2 I_d)$ 的 Poincaré 常数在维度 $d$ 上的最优依赖关系是什么？
• RQ2 在不同方差区域下，对数 Sobolev 常数能否以显式、维度相关或无维度依赖的常数进行界定？
• RQ3 在该卷积模型中，运输-熵不等式与函数不等式之间有何关系？涉及的最优运输成本是什么？
• RQ4 与先前界（如 Zimmermann, 2014）相比，能否在显式常数与维度依赖性方面实现改进？
• RQ5 能否利用 $\tau$-性质与凸性技术，通过卷积为非对数凸测度推导出新的、精确的对数 Sobolev 不等式？

主要发现

• Poincaré 不等式具有无维度依赖的常数：$C_P(\mu \star \gamma_\delta) \leq \delta^2 \exp(4R^2/\delta^2)$。
• 当 $\delta > R$ 时，对数 Sobolev 常数在维度上一致有界：$C_d(\delta,R) \leq \frac{\delta^4}{\delta^2 - R^2}$。
• 在一维情形下，对数 Sobolev 常数满足 $C_1(\delta,R) \leq 4\delta^2 \exp(\frac{8}{\pi} \frac{R^2}{\delta^2})$，优于先前结果。
• 在小方差区域（$\delta \leq R$），对数 Sobolev 常数随维度线性增长：$C_d(\delta,R) \leq (K_1 d + K_2 \frac{R^2}{\delta^2}) R^2 \exp(4R^2/\delta^2)$，其中 $K_1, K_2$ 为绝对常数。
• 运输-熵不等式 $\overline{\mathcal{T}}_2(\nu_1,\nu_2) \leq C(\delta,R) (H(\nu_1|\mu\star\gamma_\delta) + H(\nu_2|\mu\star\gamma_\delta))$ 成立，其中 $C(\delta,R) = \delta^2 + 4R^2$，由 $\tau$-性质导出。
• 该运输不等式蕴含对数 Sobolev 不等式，常数满足 $C_{LS} \leq 8(\delta^2 + 4R^2)$，通过凸性与下确界卷积技术获得新的显式界。