[论文解读] Functional Inference on Rotational Curves and Identification of Human Gait at the Knee Joint

Fabian J. E. Telschow, Stephan Huckemann+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2016

Morphological variations and asymmetry参考文献 28被引用 7

一句话总结

本文提出了一种在旋转群 SO(3) 上的新型高斯扰动模型，以实现对 3D 旋转曲线的功能性推断，特别适用于膝关节的人体步态分析。通过使用逐点外蕴均值曲线和基于李群的损失函数，该方法实现了渐近一致估计，并支持对曲线长度的非参数两样本置换检验，克服了传统欧拉角分析对标记放置依赖的局限性。

ABSTRACT

We extend Gaussian perturbation models in classical functional data analysis to the three-dimensional rotational group where a zero-mean Gaussian process in the Lie algebra under the Lie exponential spreads multiplicatively around a central curve. As an estimator, we introduce point-wise extrinsic mean curves which feature strong perturbation consistency, and which are asymptotically a.s. unique and differentiable, if the model is so. Further, we consider the group action of time warping and that of spatial isometries that are connected to the identity. The latter can be asymptotically consistently estimated if lifted to the unit quaternions. Introducing a generic loss for Lie groups, the former can be estimated, and based on curve length, due to asymptotic differentiability, we propose two-sample permutation tests involving various combinations of the group actions. This methodology allows inference on gait patterns due to the rotational motion of the lower leg with respect to the upper leg. This was previously not possible because, among others, the usual analysis of separate Euler angles is not independent of marker placement, even if performed by trained specialists.

研究动机与目标

• 为非欧几里得流形（特别是 SO(3)）上的功能性数据分析缺乏推断工具的问题提供解决方案，尤其针对人体步态分析场景。
• 构建一个在 SO(3) 上对旋转均值曲线进行估计的统计一致性框架，该框架能有效处理李代数中的噪声与扰动。
• 在考虑时间与空间错位的情况下，实现对旋转步态曲线的稳健统计推断，特别是两样本检验。
• 通过使用内在的、群不变的旋转运动表示，克服标准步态分析对标记放置的依赖性。
• 在一般条件下（包括非各向同性噪声）建立估计量的渐近一致性和可微性。

提出的方法

• 在 SO(3) 上提出一种高斯扰动（GP）模型，其中中心曲线 μ(t) 通过李代数中零均值高斯过程的李指数进行乘法扰动。
• 引入逐点外蕴弗雷chet均值（PEM）作为估计量，证明其在温和条件下具有强渐近一致性与可微性。
• 将与单位四元数中单位元相连的空间等距变换提升至单位四元数，以定义新的损失函数，从而实现空间配准的渐近一致估计。
• 在李群上定义一种规范损失函数用于时间对齐，避免使用如平行移动等非规范选择，并确保在重参数化下的不变性。
• 以曲线长度作为检验统计量，构建在群作用下进行或不进行配准的非参数两样本置换检验。
• 利用 GP 模型在时间与空间群作用下的等变性，确保在各种对齐条件下推断的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为 SO(3) 上的功能性数据（特别是旋转步态曲线）构建一个一致且可微的均值曲线估计量？
• RQ2 所提出的逐点外蕴均值估计量在一般噪声模型（包括非各向同性模型）下是否具有强渐近一致性？
• RQ3 能否通过内在的、群不变的损失函数，一致估计旋转步态数据中的时间与空间错位？
• RQ4 能否基于曲线长度，在 SO(3) 上构建不进行或进行配准的非参数两样本置换检验，以检测步态模式的差异？
• RQ5 所提出的框架是否对传统基于欧拉角的步态分析中常见的标记放置影响具有鲁棒性？

主要发现

• 逐点外蕴弗雷chet均值（PEM）曲线在非各向同性噪声下仍具有强渐近一致性且几乎必然唯一，这在非欧几里得统计中较为罕见。
• 对于几乎必然 C¹-正则的高斯扰动模型，样本 PEM 曲线也几乎必然属于 C¹ 类，确保了可微性并支持基于导数的推断。
• 所提出的用于空间配准的损失函数在提升至单位四元数后，可实现对与单位元相连的空间等距变换的渐近强一致估计。
• 时间对齐损失在李群上是规范的，避免了如平行移动等非规范选择，从而支持一致的时间扭曲估计。
• 基于曲线长度的两样本置换检验在统计上有效且效能较高，且通过联合时间与空间配准进一步提升了性能。
• 该框架可推广至奇数 n 的 SO(n)，并适用于任意李群，SO(3) 的选择基于计算效率及在生物力学中的相关性。