[论文解读] Functional Integration with "Automorphic" Boundary Conditions and Correlators of Z-Components of Spins in the XY and XX Heisenberg Chains

C. Malyshev|ArXiv.org|May 4, 2004

Quantum many-body systems参考文献 24被引用 3

一句话总结

该论文提出了一种函数积分方法，用于在有限温度下计算XY和XX海森堡自旋链中自旋z分量的静态关联函数，采用了一类新颖的‘自守’虚时边界条件。该方法通过允许积分变量在虚时平移下非平凡变换，推广了标准的费米子/玻色子边界条件，得到通过zeta函数正则化的行列式表示，结果精确且与已知解一致。

ABSTRACT

Representations for the generating functionals of static correlators of $z$-components of spins in the XY and $XX$ Heisenberg spin chains are obtained in the form of sums of the fermionic functional integrals. The peculiarity of the functional integrals in question is because of the fact that the integration variables depend on the imaginary time ``automorphically''. In other words, the integration variables are multiplied with a certain complex number when the imaginary time is shifted by a period. Therefore, the corresponding boundary conditions at the ends of the imaginary time segment are not of the form corresponding to fermionic, or bosonic, variables taken in the Matsubara representation at nonzero temperature. In fact, one part of sites of the models corresponds to the integration variables which are subjected to the unusual boundary conditions, while the variables on the other sites depend on the imaginary time conventionally, i.e., as fermions (or bosons). Thus a situation, when an ``automorphic'' boundary condition is the same for all sites of a chain spin model, is generalized. The results of the functional integration are obtained in the form of determinants of the matrix operators which are regularized by means of the generalized zeta-function approach. The partition functions of the models and certain correlation functions at nonzero temperature are obtained explicitly thus demonstrating correctness of the functional integral representations proposed.

研究动机与目标

• 为有限温度下XY和XX海森堡自旋链中自旋z分量的静态关联函数建立函数积分表示。
• 通过引入‘自守’边界条件，推广标准的虚时费米子或玻色子边界条件，其中场在时间平移下通过乘以复相位变换。
• 通过推导配分函数和关联函数的显式表达式，证明所提出的函数积分形式的自洽性和正确性。
• 将[23]的方法扩展至XY模型，该模型通过 Bogoliubov 变换等价于准自由费米子。
• 证明通过zeta函数正则化得到的行列式表示能重现其他方法（如Bethe ansatz和多重积分表示）已知的结果。

提出的方法

• 自旋z分量关联函数的生成泛函表示为虚时中具有‘自守’边界条件的Grassmann变量上的高斯函数积分。
• 边界条件为非齐次：仅部分晶格位点（前m个位点）具有自守行为，其余位点遵循标准周期性或反对称性条件。
• 将函数积分从Grassmann相干态上的多重积分转化为指数中具有二次作用量的连续路径积分。
• 通过广义zeta函数方法对所得行列式表示进行正则化，以处理发散并确保收敛性。
• 该方法允许通过矩阵算子的Fredholm行列式计算关联函数，并在热力学极限下推导出显式表达式。
• 通过恢复已知结果（如XX极限下的磁化强度和两点关联函数）验证了形式的正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用具有非标准‘自守’边界条件的函数积分表示来计算可积自旋链的有限温度关联函数？
• RQ2 仅在部分晶格位点上有效的空间非均匀自守边界条件如何影响生成泛函的结构？
• RQ3 通过zeta正则化导出的行列式表示是否与XX和XY模型中已建立的解一致？
• RQ4 该方法能否推广至具有空间非均匀边界条件或非均匀耦合的模型？
• RQ5 该函数积分形式是否自洽，其结果是否与Bethe ansatz和多重积分表示的结果一致？

主要发现

• XY和XX自旋链中自旋z分量关联函数的生成泛函表示为具有‘自守’边界条件的费米子函数积分之和。
• 该函数积分形式给出了配分函数和关联函数的精确表达式，包括磁化强度和两点关联函数。
• 在热力学极限下，自旋z分量期望值为 $\sigma^z = 1 - \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{dq}{1 + e^{\beta \varepsilon_q}} $，与已知结果一致。
• 两点关联函数表示为 $\langle\sigma_{m+1}^z \sigma_1^z\rangle = (\sigma^z)^2 - \frac{1}{\pi^2} \left| \int_{-\pi}^{\pi} \frac{e^{imq}}{1 + e^{\beta \varepsilon_q}} dq \right|^2 $，与文献结果一致。
• zeta正则化过程确保了行列式表示的收敛性和正确性，最终结果与Bethe ansatz和多重积分方法的结果一致。
• 该方法通过允许虚时中非均匀边界条件，推广了先前方法，适用于具有空间变化耦合或边界条件的模型。