[论文解读] Functional Itō calculus in Hilbert spaces and application to path-dependent Kolmogorov equations

Mauro Rosestolato|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文将函数 Itō 微积分推广至希尔伯特空间值扩散过程，建立了路径依赖的 Itō 公式，并将其应用于求解路径依赖的柯尔莫哥洛夫方程。推导出类似 Clark-Ocone 的表示公式，并证明了具有路径依赖漂移和常数扩散系数的随机微分方程解的正则性，该理论在具有 Radon 测度核的延迟 SDE 类上得到验证。

ABSTRACT

Recently, functional Itō calculus has been introduced and developed in finite dimension for functionals of continuous semimartingales. With different techniques, we develop a functional Itō calculus for functionals of Hilbert spacevalued diffusions. In this context, we first prove a path-dependent Itō's formula, then we show applications to classical solutions of path-dependent Kolmogorov equations in Hilbert spaces and derive a Clark-Ocone type formula. Finally, we explicitly verify that all the theory developed can be applied to a class of diffusions driven by SDEs with a path-dependent drift (suitably regular) and constant diffusion coefficient.

研究动机与目标

• 为连续半鞅的非互 anticipative 泛函，在无穷维希尔伯特空间中发展函数 Itō 微积分。
• 为由随机微分方程驱动的希尔伯特空间值扩散过程的泛函，建立路径依赖的 Itō 公式。
• 证明具有终端条件的路径依赖柯尔莫哥洛夫方程的解，对应于扩散过程泛函的条件数学期望。
• 为路径依赖柯尔莫哥洛夫方程的解推导出类似 Clark-Ocone 的表示公式。
• 验证具有路径依赖漂移和常数扩散系数的 SDE 的解映射在路径空间希尔伯特空间中的正则性。

提出的方法

• 通过路径上的时间与空间导数，形式化了希尔伯特空间值扩散过程的非互 anticipative 泛函的函数 Itō 微积分。
• 推导出泛函 $ u(s, X^{t,oldsymbol{x}}_s) $ 的路径依赖 Itō 公式，其中 $ X^{t,oldsymbol{x}} $ 是具有路径依赖漂移和常数扩散系数的扩散过程。
• 应用 Itō 公式表明，函数 $ \varphi(t, \mathbf{x}) = \mathbb{E}[f(X^{t,\mathbf{x}})] $ 满足具有终端条件 $ f $ 的路径依赖后向柯尔莫哥洛夫方程。
• 通过识别解 $ \varphi $ 的垂直导数，建立类似 Clark-Ocone 的公式，从而确定局部鞅表示中的随机积分被积函数。
• 在漂移与扩散系数满足正则性假设的前提下，分析解映射 $ (t, \mathbf{x}) \mapsto X^{t,\mathbf{x}} $ 在空间 $ \mathbb{B}^1(H) $ 中的 Fréchet 可微性。
• 利用复合规则与微分的有界性，验证解映射 $ \varphi $ 属于类 $ \mathcal{G}^2(\mathbb{B}^1_\infty(H), \mathbb{R}) $，且其一阶与二阶导数一致有界。

实验结果

研究问题

• RQ1 函数 Itō 微积分能否从有限维空间推广至无穷维希尔伯特空间，以处理扩散过程的路径依赖泛函？
• RQ2 对于具有路径依赖漂移和常数扩散系数的希尔伯特空间值扩散过程的泛函，路径依赖的 Itō 公式是否成立？
• RQ3 路径依赖柯尔莫哥洛夫方程的解能否表示为扩散过程泛函的条件数学期望？
• RQ4 在此无穷维设定下，路径依赖柯尔莫哥洛夫方程的解是否可导出类似 Clark-Ocone 的表示公式？
• RQ5 当漂移项涉及与 Radon 测度的卷积时，解映射 $ (t, \mathbf{x}) \mapsto X^{t,\mathbf{x}} $ 在路径的希尔伯特空间中具有何种正则性？

主要发现

• 为具有路径依赖漂移和常数扩散系数的希尔伯特空间值扩散过程的非互 anticipative 泛函，建立了路径依赖的 Itō 公式。
• 证明了解 $ \varphi(t, \mathbf{x}) = \mathbb{E}[f(X^{t,\mathbf{x}})] $ 属于 $ \mathcal{G}^2(\mathbb{B}^1_\infty(H), \mathbb{R}) $，且其一阶与二阶 Fréchet 导数一致有界。
• 推导出类似 Clark-Ocone 的公式，其中局部鞅表示中的随机被积函数被识别为 $ \varphi $ 的垂直导数。
• 在漂移项具有与 Radon 测度卷积结构的假设下，证明了解映射 $ (t, \mathbf{x}) \mapsto X^{t,\mathbf{x}} $ 在 $ \mathbb{B}^1(H) $ 中是 Fréchet 可微的，且其微分在 $ \omega, t, \mathbf{x} $ 上一致有界。
• 该理论在具有路径依赖漂移形式 $ b(t, \mathbf{x}) = \int \tilde{g}(t-s, \mathbf{x}(t-s)) \mu(ds) $ 的 SDE 上得到显式验证，其中 $ \tilde{g} $ 是 $ C^2_b $ 类且导数一致连续。
• 在 $ \mathbb{B}^1(H) $ 中建立了复合映射 $ \mathbf{x} \mapsto f(X^{t,\mathbf{x}}) $ 的可微性，其 Fréchet 导数通过链式法则与 $ X^{t,\mathbf{x}} $ 的微分一致有界性推导得出。