[论文解读] Functional moderate deviations for triangular arrays and applications

Merlevede, Florence, Peligrad, Magda|ArXiv.org|May 5, 2008

Probability and Risk Models参考文献 28被引用 8

一句话总结

本论文为独立、中心化、平方可积的三角阵列在 D[0,1] 中建立了函数型中偏差原理（MDP）的充分条件，并给出了显式的速率函数。在正则条件下，这些条件在平稳情况下也是必要的，从而可通过独立阵列的块近似方法，将 MDP 应用于线性过程、核密度估计器和强混合序列。

ABSTRACT

Motivated by the study of dependent random variables by coupling with independent blocks of variables, we obtain first sufficient conditions for the moderate deviation principle in its functional form for triangular arrays of independent random variables. Under some regularity assumptions our conditions are also necessary in the stationary case. The results are then applied to derive moderate deviation principles for linear processes, kernel estimators of a density and some classes of dependent random variables.

研究动机与目标

• 推导独立、中心化、平方可积的三角阵列在 D[0,1] 空间中函数型中偏差原理（MDP）的充分条件。
• 证明在正则条件下，所导出的条件在平稳情况下也是必要的。
• 通过将依赖结构通过独立随机变量的块近似，扩展 MDP 在依赖结构中的适用性。
• 将函数型 MDP 应用于线性过程、核密度估计器和强混合序列。
• 提出一个广义的林德贝格型条件（公式 7），在更弱的矩和尾部假设下确保 MDP 成立。

提出的方法

• 将 Donsker 过程 $ W_n(t) $ 定义为 [0,1] 上的归一化部分和过程，通过 $ s_n^2 = \sum_{j=1}^{k_n} \sigma_{nj}^2 $ 进行时间缩放。
• 通过截断变量 $ \bar{X}_{nj} = X_{nj} I(|X_{nj}| < s_n / \sqrt{a_n}) $ 的指数矩界建立函数型 MDP，确保 $ a_n \log \mathbb{E}[\exp(t \sqrt{a_n} W_n)] \to \frac{t^2}{2} \int_0^1 (z'(u))^2 du $。
• 使用广义林德贝格条件（公式 7）：对所有 $ \epsilon, \beta > 0 $，有 $ \limsup_{n\to\infty} a_n \sum_{j=1}^{k_n} \mathbb{E}\left[ \exp\left(\beta \frac{|X_{nj}|}{\sqrt{a_n} s_n}\right) I(|X_{nj}| > \epsilon \sqrt{a_n} s_n) \right] = 0 $。
• 通过分部积分和矩生成函数估计，证明尾部条件（3）与指数尾部界（41）等价。
• 利用普罗霍罗夫不等式和有界随机变量的集中不等式，控制单个项的罕见事件。
• 通过耦合技术，将结果扩展至依赖过程，通过构造满足 MDP 条件的独立块来近似。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 D[0,1] 中，什么条件能确保独立随机变量三角阵列的函数型中偏差原理（MDP）？
• RQ2 在何种条件下，MDP 条件在平稳情况下既是充分也是必要的？
• RQ3 如何利用独立阵列的 MDP 推导出线性过程和强混合序列等依赖过程的 MDP？
• RQ4 何种广义林德贝格型条件可确保在矩生成函数在零附近未定义时 MDP 仍成立？
• RQ5 是否可在无完整矩条件的情况下，通过指数尾部界和矩估计建立 MDP？

主要发现

• 在条件（3）、（4）和（5）下，函数型 MDP 在 $ D[0,1] $ 中以速度 $ a_n \to 0 $ 成立，速率函数为 $ I(z) = \frac{1}{2} \int_0^1 (z'(u))^2 du $，其中 $ z $ 为绝对连续且满足 $ z(0) = 0 $。
• 条件（7）——广义林德贝格条件——对函数型 MDP 是充分的，并蕴含其他条件（3）、（4）和（5）。
• 在平稳情况下，条件（3）、（4）和（5）对函数型 MDP 成立也是必要的。
• 归一化和 $ s_n^{-1} S_n $ 的 MDP 以速率函数 $ I(t) = t^2 / 2 $ 成立，与函数形式一致。
• 尾部条件（3）与指数尾部界等价：对所有 $ u \geq 1 $，有 $ a_n \sum_j \mathbb{P}(|\bar{X}_{nj}| > u \sqrt{a_n} s_n) \leq C_1 e^{-\beta u} $，该界控制了单个项的罕见事件。
• 该方法可通过构造满足 MDP 条件的独立块，实现对线性过程、核密度估计器和强混合序列的 MDP 推导。