[论文解读] Functional Poisson approximation in Rubinstein distance

Laurent Decreusefond, Matthias Schulte+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2014

Point processes and geometric inequalities参考文献 44被引用 3

一句话总结

本文通过使用 Stein 方法、Glauber 动力系统和 Malliavin 微积分，建立了在抽象空间上的点过程所导出的 U-统计量在 Rubinstein 距离下的功能性泊松近似界。主要贡献在于对图像过程与泊松目标之间的距离给出了定量上界，从而在随机几何与统计学中实现了对泊松、复合泊松及稳定分布近似的误差估计。

ABSTRACT

A Poisson or a binomial process on an abstract state space and a symmetric function f acting on k-tuples of its points are considered. They induce a point process on the target space of f. The main result is a functional limit theorem which provides an upper bound for an optimal transportation distance between the image process and a Poisson process on the target space. The technical background are a version of Stein’s method for Poisson process approximation, a Glauber dynamic representation for the Poisson process and the Malliavin formalism. As applications of the main result, error bounds for approximations of U-statistics by Poisson, compound Poisson and stable random variables are derived and examples from stochastic geometry are investigated.

研究动机与目标

• 开发一个用于近似抽象状态空间上点过程所导出的 U-统计量分布的泛函极限定理。
• 利用最优传输距离量化图像过程与目标泊松过程之间的近似误差。
• 通过 Malliavin 微积分与 Glauber 动力系统，将 Stein 的泊松近似方法扩展至泛函设置。
• 为 U-统计量在泊松、复合泊松及稳定分布下的近似提供误差界。
• 将理论框架应用于随机几何中的具体问题，得出明确的误差估计。

提出的方法

• 将用于泊松过程近似的 Stein 方法适配至泛函设置，利用 Malliavin 微积分处理无限维依赖结构。
• 采用 Glauber 动力系统表示法，将泊松过程与原始点过程耦合，从而实现基于耦合的误差界。
• 使用 Rubinstein（Wasserstein）距离作为最优传输度量，以衡量近似误差。
• 应用 Malliavin 形式化方法，处理 U-统计量对点过程中 k 元组的泛函依赖。
• 推导出图像过程与目标空间上泊松过程之间在 Rubinstein 距离上的通用上界。
• 结合上述工具，建立泊松、复合泊松及稳定分布近似的误差界。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何对由点过程导出的 U-统计量在 Rubinstein 距离下实现功能性泊松近似误差的有界？
• RQ2 Glauber 动力系统表示法在耦合原始与目标泊松过程以进行误差估计中起到何种作用？
• RQ3 Malliavin 形式化方法在提升 Stein 方法对泛函 U-统计量适用性方面有何作用？
• RQ4 对 U-统计量使用泊松、复合泊松及稳定分布进行近似时，其显式误差界是什么？
• RQ5 如何将该理论框架应用于推导随机几何中的定量近似结果？

主要发现

• 推导出在对点过程中 k 元组应用对称函数 f 所诱导的图像过程与目标空间上泊松过程之间在 Rubinstein 距离上的通用上界。
• 该上界以原始点过程的强度测度与函数 f 表示，利用 Malliavin 微积分处理泛函依赖关系。
• 该框架为 U-统计量使用泊松、复合泊松及稳定分布进行近似提供了显式误差界，且误差界取决于 f 的结构与底层点过程的特性。
• 在随机几何中的应用为几何 U-统计量（如随机几何图或覆盖过程）提供了具体的误差估计。
• Glauber 动力系统使耦合构造成为可能，从而通过路径耦合论证推导出距离上界。
• 该结果将 Stein 方法扩展至具有无限维依赖结构的泛函设置，为随机过程中的近似提供了一项新工具。