[论文解读] Functional principal component analysis for global sensitivity analysis of model with spatial output

Tran Vi-Vi Élodie Perrin, Olivier Roustant+7 more|arXiv (Cornell University)|May 20, 2020

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 29被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于函数主成分分析（FPCA）的方法，以实现对计算成本高昂、具有高维空间输出的模拟器（如海岸洪涝模型）的全局敏感性分析（GSA）。通过结合函数基分解（小波或B样条）、基于能量准则或惩罚回归的基系数选择，以及使用格拉姆矩阵度量的FPCA，该方法在保留空间结构的同时降低了输出维度，从而实现了对非平稳、局部变化输出的精确代理建模和基于方差的敏感性指标分析。

ABSTRACT

Motivated by risk assessment of coastal flooding, we consider time-consuming simulators with a spatial output. The aim is to perform sensitivity analysis (SA), quantifying the influence of input parameters on the output. There are three main issues. First, due to computational time, standard SA techniques cannot be directly applied on the simulator. Second, the output is infinite dimensional, or at least high dimensional if the output is discretized. Third, the spatial output is non-stationary and exhibits strong local variations. We show that all these issues can be addressed all together by using functional PCA (FPCA). We first specify a functional basis, such as wavelets or B-splines, designed to handle local variations. Secondly, we select the most influential basis terms, either with an energy criterion after basis orthonormalization, or directly on the original basis with a penalized regression approach. Then FPCA further reduces dimension by doing PCA on the most influential basis coefficients, with an ad-hoc metric. Finally, fast-to-evaluate metamodels are built on the few selected principal components. They provide a proxy on which SA can be done. As a by-product, we obtain analytical formulas for variance-based sensitivity indices, generalizing known formula assuming orthonormality of basis functions.

研究动机与目标

• 为解决在具有强烈局部变化的时间消耗型模拟器上执行全局敏感性分析的挑战。
• 克服标准PCA和函数基方法在处理具有不连续性的非平稳、高维空间输出时的局限性。
• 开发一种保留空间依赖性的降维框架，以实现精确且计算快速的代理模型。
• 推导出适用于任意（非正交基）基函数的基于方差的敏感性指标的解析公式。
• 在海岸洪涝建模中展示该方法在捕捉尖锐空间特征方面优于经典PCA。

提出的方法

• 使用小波或B样条进行函数基分解，将空间输出表示为一组系数。
• 通过正交化后的能量准则或在原始基上的惩罚回归方法（如Lasso）对基项进行初步选择。
• 对选定的系数应用函数主成分分析（FPCA），使用基函数的格拉姆矩阵定义度量，以考虑非正交性。
• 在少数最具影响力的主成分上构建高斯过程代理模型，以实现快速评估和敏感性分析。
• 利用FPCA框架推导广义的基于方差的敏感性指标，且无需假设基函数的正交性。
• 利用所得代理模型高效计算主效应和总效应的敏感性指标。

实验结果

研究问题

• RQ1 在高维输出中，具有强烈局部变化的空间特征方面，基于基选择的FPCA是否显著优于标准PCA？
• RQ2 当输出为高维且计算成本高昂时，如何高效地对空间模拟器进行敏感性分析？
• RQ3 在函数主成分分析框架中，使用非正交基（如B样条）对敏感性指标的准确性和可解释性有何影响？
• RQ4 两阶段降维（基选择后接FPCA）是否能提高代理模型的准确性，同时降低计算成本？
• RQ5 当基函数非正交时，所提出的敏感性指标与经典指标相比表现如何？

主要发现

• 在具有尖锐空间不连续性的区域（如洪水边界）中，基于基选择的FPCA显著提高了代理模型的准确性，优于标准PCA。
• 在作者的实验中，基函数正交化后的能量准则在准确性和计算成本方面均优于惩罚回归方法。
• 该方法成功地将256×256的空间输出（65,536个像素）的维度降低到可管理的主成分数量，同时保留了关键的空间特征。
• 推导出了适用于任意基函数的基于方差的敏感性指标的解析公式，消除了对正交性假设的需求。
• 在真实的海岸洪涝案例研究中，敏感性指标正确识别了与溢流过程相关的输入变量，如风暴增水峰值和持续时间。
• 该方法在标准PCA变得计算不可行的更高分辨率网格上仍具有可行性。