[论文解读] Functional renormalisation group for turbulence

Léonie Canet|arXiv (Cornell University)|May 3, 2022

Fluid Dynamics and Turbulent Flows被引用 2

一句话总结

本文提出了一套非微扰的函数重整化群（FRG）框架，用于研究均匀、各向同性的湍流，能够从纳维-斯托克斯方程系统地推导出统计性质。通过利用场论对称性与非微扰近似，FRG 在高波数极限下导出了多点、多时间关联函数的精确解析表达式，准确预测了能量谱、结构函数及时空关联，与直接数值模拟和实验结果高度一致。

ABSTRACT

Turbulence is a complex nonlinear and multi-scale phenomenon. Although the fundamental underlying Navier-Stokes equations have been known for two centuries, it remains extremely challenging to extract from them the statistical properties of turbulence. Therefore, for practical purpose, a sustained effort has been devoted to obtaining some effective description of turbulence, that we may call turbulence modelling, or statistical theory of turbulence. In this respect, the Renormalisation Group (RG) appears as a tool of choice, since it is precisely designed to provide effective theories from fundamental equations by performing in a systematic way the average over fluctuations. However, for Navier-Stokes turbulence, a suitable framework for the RG, allowing in particular for non-perturbative approximations, have been missing, which has thwarted for long RG applications. This framework is provided by the modern formulation of the RG called functional renormalisation group. The use of the FRG has rooted important progress in the theoretical understanding of homogeneous and isotropic turbulence. The major one is the rigorous derivation, from the Navier-Stokes equations, of an analytical expression for any Eulerian multi-point multi-time correlation function, which is exact in the limit of large wavenumbers. We propose in this {\it JFM Perspectives} a survey of the FRG method for turbulence. We provide a basic introduction to the FRG and emphasise how the field-theoretical framework allows one to systematically and profoundly exploit the symmetries. We then show that the FRG enables one to describe turbulence forced at large scale, which was not accessible by perturbative means. We expound the derivation of the spatio-temporal behaviour of $n$-point correlation functions, and largely illustrate these results through the analysis of data from experiments and direct numerical simulations.

研究动机与目标

• 开发一种非微扰场论框架，用于湍流，能够系统地从纳维-斯托克斯方程推导出有效统计性质。
• 克服微扰重整化群方法的局限性，后者因缺乏小参数而在湍流中失效。
• 实现对具有物理大尺度驱动的充分发展湍流的描述，该问题此前无法通过微扰RG方法解决。
• 在高波数（直接级联）区域导出多点、多时间关联函数的精确解析表达式。
• 将FRG预测与直接数值模拟和实验数据进行验证，尤其针对能量谱和结构函数。

提出的方法

• 在路径积分和场论形式下表述纳维-斯托克斯方程，使用响应-平流场和生成泛函。
• 识别并利用基本对称性——伽利略不变性、平移不变性以及扩展对称性（如时空变换下的二次型）——通过Ward恒等式约束顶点函数。
• 应用函数重整化群（FRG）形式，引入尺度依赖的有效平均作用量，并建立非微扰积分涨落的精确流动方程。
• 基于对称性和计权规则，对有效平均作用量提出非微扰假设，从而实现系统化的近似方案。
• 在大波数极限下求解FRG流动方程，此时对称性完全约束了关联函数展开中的主导项与次主导项。
• 通过分析高k极限下的流动方程并利用对称性约束消除非物理项，推导出n点关联函数的时间依赖性。

实验结果

研究问题

• RQ1 函数重整化群（FRG）能否提供一种非微扰、基于对称性的框架，从纳维-斯托克斯方程推导出湍流的统计性质？
• RQ2 在均匀、各向同性湍流的高波数（直接级联）区域，多点、多时间关联函数的解析结构是什么？
• RQ3 超越标准伽利略不变性和平移不变性，扩展对称性如何约束关联函数的形式，并抑制次主导修正？
• RQ4 FRG对能量谱、二阶与三阶结构函数以及近耗散区行为的预测，在多大程度上与直接数值模拟和实验数据一致？
• RQ5 在2D与3D湍流中，n点关联函数的时空行为如何？其受FRG流动中对称性保护项的支配机制是什么？

主要发现

• FRG在高波数极限下，直接从纳维-斯托克斯方程导出了任意欧拉坐标系下多点、多时间关联函数的精确解析表达式。
• 能量谱预测具有高精度，包括对柯尔莫哥洛夫常数的精确估计，与数值和实验数据一致。
• 通过受控的非微扰近似计算了二阶与三阶结构函数，与模拟和实验结果表现出极佳的一致性。
• FRG准确描述了能量谱的近耗散区，捕捉到了从惯性区到耗散区过渡的正确标度行为。
• 在大波数极限下，n点关联函数的时间依赖性被解析推导，主导项在相同时间点处为零，幂律行为由标度不变性产生。
• 在2D湍流中，扩展对称性（时空变换下的二次型）约束了等时关联函数的次主导修正，表明其较小，可能受组合学与对称性恒等式抑制。