[论文解读] Functional renormalization group for non-Hermitian and $\mathcal{PT}$-symmetric systems
该论文将具有顶点展开（VE）的函数重整化群（FRG）推广至非厄米及PT对称量子系统，解决了因厄米性破缺而产生的异常期望值问题。通过一个精确可解的PT对称非谐振子模型，证明FRG-VE在保真度上可与厄米情况相媲美，验证了其在研究非厄米多体系统关联效应中的适用性。
We generalize the vertex expansion approach of the functional renormalization group to non-Hermitian systems. As certain anomalous expectation values might not vanish, additional terms as compared to the Hermitian case can appear in the flow equations. We investigate the merits and shortcomings of the vertex expansion for non-Hermitian systems by considering an exactly solvable $\mathcal{PT}$-symmetric non-linear toy-model and reveal, that in this model, the fidelity of the vertex expansion in a perturbatively motivated truncation schema is comparable with that of the Hermitian case. The vertex expansion appears to be a viable method for studying correlation effects in non-Hermitian systems.
研究动机与目标
- 将具有顶点展开（VE）的函数重整化群（FRG）推广至非厄米及PT对称量子系统。
- 解决非厄米系统中出现的非零真空期望值（VEVs）对流方程造成的影响这一挑战。
- 通过一个精确可解的PT对称模型，在非厄米背景下测试FRG-VE方法的保真度。
- 确立FRG-VE作为研究非厄米多体系统关联效应的可行工具。
提出的方法
- 通过将非零真空期望值（VEVs）纳入流方程，将FRG框架推广至非厄米系统。
- 调整FRG的顶点展开（VE）方法，以包含由双正交本征态和非厄米结构引起的异常项。
- 在流参数λ中引入截断函数，以在可解极限（λ = λ∞）与原始理论（λ = λ0）之间插值，并通过Wetterich方程推导流方程。
- 使用对数频率网格和自适应Gauss-Kronrod积分法实现FRG-VE的数值计算，对顶点函数采用样条插值。
- 通过提取可观测量的泰勒系数并与精确对角化（ED）结果比较，进行一致性检验。
- 以PT对称非谐振子H = p²/2 + x²/2 + ikx³/3!作为测试模型，其能谱为实数且〈x〉非零。
实验结果
研究问题
- RQ1函数重整化群的顶点展开（FRG-VE）能否在非厄米及PT对称系统中一致推广？
- RQ2非零真空期望值（VEVs）如何影响非厄米FRG中的流方程？
- RQ3在非厄米系统中，FRG-VE的保真度与厄米情况相比如何？
- RQ4FRG-VE能否准确再现一个可解的PT对称非谐振子模型的能谱和自能？
- RQ5FRG-VE能否可靠地用于研究非厄米多体系统中的关联效应？
主要发现
- FRG-VE方法成功地将非零真空期望值（VEVs）和异常项纳入流方程，这些在厄米情况下是不存在的。
- 对于PT对称非谐振子模型，当截断阶数mc=3时，FRG-VE能以与厄米情况相当的保真度重现精确能谱。
- 一致性检验表明，FRG-VE的数值实现能正确再现可观测量的泰勒系数至O(k^mc)阶，验证了方法的正确性。
- 当mc=3时，FRG-VE得到的自能表现出在小频率处的下凹特征，该特征在mc=2截断中缺失，且更接近精确ED结果。
- 该方法对数值选择（如网格间距和积分方法）具有鲁棒性，不同实现之间的偏差低于0.1%。
- 结果表明，FRG-VE是研究非厄米系统中关联效应的可行且可靠的工具，具有在输运和驱动系统中应用的潜力。
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