[论文解读] Functions of operators under perturbations of class $\bS_p$

А. Б. Александров, Vladimir Peller|ArXiv.org|Aug 25, 2009

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文为当 $ A - B \in \mathbf{S}_p $ 时，建立了算子差 $ f(A) - f(B) $ 与高阶差 $ \Delta_K^m f(A) $ 的精确 Schatten–von Neumann 范数估计，证明了对于满足 $ f \in \Lambda_\alpha(\mathbb{R}) $ 的函数，有 $ f(A) - f(B) \in \mathbf{S}_{p/\alpha} $，其中 $ 1 < p < \infty $，$ 0 < \alpha < \infty $。研究将结果推广至酉算子、压缩算子及拟交换子，给出了迹公式，并推导了在扰动下属于 Schatten 类的必要条件。

ABSTRACT

This is a continuation of our paper \cite{AP2}. We prove that for functions $f$ in the Hölder class $Ł_\a(\R)$ and $1

研究动机与目标

• 确定当 $ A - B \in \mathbf{S}_p $ 时，$ f(A) - f(B) $ 属于 Schatten–von Neumann 类 $ \mathbf{S}_q $ 的条件，其中函数 $ f $ 属于 Hölder–Zygmund 类 $ \Lambda_\alpha(\mathbb{R}) $。
• 建立以 $ \|A - B\|_{\mathbf{S}_p} $ 和 $ \|f\|_{\Lambda_\alpha} $ 表示的 $ \|f(A) - f(B)\|_{\mathbf{S}_{p/\alpha}} $ 的精确范数估计。
• 将结果推广至高阶差 $ \Delta_K^m f(A) $、拟交换子 $ f(A)Q - Qf(B) $，以及单位圆和单位圆盘上的算子。
• 推导在 $ A - B \in \mathbf{S}_p $ 条件下 $ f(A) - f(B) \in \mathbf{S}_q $ 的函数 $ f $ 的必要条件，并为二阶差引入谱移位函数。

提出的方法

• 利用多重算子积分理论，将 $ f(A) - f(B) $ 与高阶差表示为涉及谱测度的积分算子形式。
• 采用 $ \Lambda_\alpha(\mathbb{R}) $ 中函数的 dyadic 分解，并通过控制 dyadic 块 $ f_n $ 的估计来控制算子差的奇异值。
• 在拟范数理想与 Schatten 类 $ \mathbf{S}_p $ 的框架下，应用插值与极大化技术。
• 通过将频率成分分解为 dyadic 组件并结合奇异值极大化，建立拟交换子 $ f(A)Q - Qf(B) $ 的估计。
• 利用谱移位函数与二阶差 $ f(A - K) - 2f(A) + f(A + K) $ 的迹公式，将其与 Krein 迹公式联系起来。
• 应用 Besov 空间与 Triebel–Lizorkin 空间的结果，刻画保持扰动理想性质的函数类。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些 $ f \in \Lambda_\alpha(\mathbb{R}) $，当 $ A - B \in \mathbf{S}_p $ 且 $ 1 < p < \infty $ 时，有 $ f(A) - f(B) \in \mathbf{S}_{p/\alpha} $ 成立？
• RQ2 以 $ \|A - B\|_{\mathbf{S}_p} $ 与 $ \|f\|_{\Lambda_\alpha} $ 表示的 $ \|f(A) - f(B)\|_{\mathbf{S}_{p/\alpha}} $ 的精确范数估计是什么？
• RQ3 对于酉算子、压缩算子及拟交换子 $ f(A)Q - Qf(B) $，是否存在类似结果？
• RQ4 在 $ A - B \in \mathbf{S}_p $ 条件下，$ f(A) - f(B) \in \mathbf{S}_q $ 的函数 $ f $ 的必要条件是什么？
• RQ5 是否可以为二阶差 $ f(A - K) - 2f(A) + f(A + K) $ 定义谱移位函数？其迹公式如何？

主要发现

• 若 $ f \in \Lambda_\alpha(\mathbb{R}) $ 且 $ 1 < p < \infty $，当 $ A - B \in \mathbf{S}_p $ 时，有 $ f(A) - f(B) \in \mathbf{S}_{p/\alpha} $，且满足 $ \|f(A) - f(B)\|_{\mathbf{S}_{p/\alpha}} \leq c \|f\|_{\Lambda_\alpha} \|A - B\|_{\mathbf{S}_p} $。
• 对于拟交换子，有 $ f(A)Q - Qf(B) \in \mathbf{S}_{p/\alpha} $，且满足 $ \|f(A)Q - Qf(B)\|_{\mathbf{S}_{p/\alpha}} \leq c \|f\|_{\Lambda_\alpha} \|Q\|^{1-\alpha} \|AQ - QB\|_{\mathbf{S}_p}^{\alpha} $。
• 对于 $ f \in \Lambda_\alpha(\mathbb{R}) $，高阶差 $ \Delta_K^m f(A) \in \mathbf{S}_{p/\alpha} $，其范数估计依赖于 $ \|K\|_{\mathbf{S}_p} $。
• 二阶差的谱移位函数满足迹公式：$ \operatorname{Tr}\big( f(A - K) - 2f(A) + f(A + K) \big) = \int \xi(\lambda) \, d\lambda $，其中 $ \xi \in L^1 $。
• 推导了在 $ A - B \in \mathbf{S}_p $ 条件下 $ f(A) - f(B) \in \mathbf{S}_q $ 的函数 $ f $ 的必要条件，该条件与 Besov 空间成员资格 $ B_{\infty 1}^\alpha(\mathbb{R}) $ 相关联。
• 当 $ AQ - QB \in \mathbf{S}_1 $ 时，有 $ f(A)Q - Qf(B) \in \mathbf{S}_{1/\alpha, \infty} $，且满足 $ \|f(A)Q - Qf(B)\|_{\mathbf{S}_{1/\alpha, \infty}} \leq c \|f\|_{\Lambda_\alpha} \|Q\|^{1-\alpha} \|AQ - QB\|_{\mathbf{S}_1}^{\alpha} $。