[论文解读] Functions on Okounkov bodies coming from geometric valuations (with an appendix by Sébastien Boucksom)

Alex Küronya, Catriona Maclean+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 7被引用 5

一句话总结

本文研究了由几何赋值导出的牛顿-奥库诺夫体上函数的连续性。当该体为多面体时，证明了此类函数在整个体上连续，但构造了一个反例，表明在一般情况下连续性可能不成立。该研究建立了这些函数及其在内森-塞弗里空间中积分的基本性质，附录中提供了关于子加性函数的一般性结果。

ABSTRACT

We study topological properties of functions on Okounkov bodies as introduced by Boucksom-Chen and Witt-Nyström. We note that they are continuous over the whole Okounkov body whenever the body is polyhedral, on the other hand, we exhibit an example that shows that continuity along the boundary does not hold in general.

研究动机与目标

• 研究由几何赋值导出的奥库诺夫体上函数的拓扑性质。
• 确定这些函数在体的边界上连续的条件，尤其是当体为多面体时。
• 分析此类函数及其在内森-塞弗里空间中积分不变量的正式性质。
• 建立一种约化性质，使得在有利旗选择下，可通过边界数据计算奥库诺夫函数的值。
• 提供一个关于半群上子加性函数的一般性子加性结果，该结果由附录中的塞巴斯蒂安·布克斯姆证明。

提出的方法

• 使用由几何赋值诱导的截面环上的乘法滤子框架。
• 应用布克斯姆-陈与维特-尼斯特伦的构造方法，在牛顿-奥库诺夫体上定义拟凹函数（奥库诺夫函数）。
• 利用奥库诺夫函数的拟凹性确保其在内部的连续性，并通过几何与分析技术分析边界行为。
• 通过精心选择旗和除子部分，将奥库诺夫函数的计算约化为体的边界。
• 应用附录中由塞巴斯蒂安·布克斯姆证明的半群上子加性函数的广义费凯特定理。
• 利用凸几何与赋值向量的渐近分析控制极限，以建立连续性或不连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，与几何赋值相关的奥库诺夫函数在完整的牛顿-奥库诺夫体上连续？
• RQ2 即使体为多面体，奥库诺夫函数在体的边界上是否仍可能不连续？
• RQ3 奥库诺夫函数的积分在内森-塞弗里空间中如何变化？其变化由何种不变量控制？
• RQ4 是否存在一种约化原理，使得可通过函数在体边界上的取值来计算其在内部的值？
• RQ5 对于由半群上滤子导出的函数，其一般结构性质（如子加性）有哪些？

主要发现

• 若牛顿-奥库诺夫体为多面体，则与几何赋值相关的奥库诺夫函数在整个体上连续。
• 构造了一个反例，表明即使对于正除子，边界上的连续性在一般情况下也不成立。
• 在光滑射影曲面上，由于曲面奥库诺夫体具有多面体结构，与几何赋值相关的奥库诺夫函数是连续的。
• 建立了约化性质：在合适的旗选择下，奥库诺夫函数在任意点的值可由其在体边界上的取值唯一确定。
• 附录提供了半群上子加性函数的一般性子加性结果，该结果为正文中的连续性与凸性论证提供了基础。
• 证明了沿收敛于边界点的序列，其归一化赋值值的逐点极限函数在锥的内部紧子集上连续且凸。