[论文解读] Functions preserving slowly oscillating double sequences

Hüseyi̇n Çakallı, Richard F. Patterson|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2013

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 16被引用 28

一句话总结

本文研究 R² 子集上的可分解双函数，并证明：一个二维实值函数在有界双区间 I×I 上一致连续，当且仅当它保持缓慢振荡双序列。该研究将一致连续性与缓慢振荡下的序列行为联系起来，利用普林斯海姆收敛和振荡准则，将经典连续性结果推广至双序列。

ABSTRACT

A double sequence $ extbf{x}=\{x_{k,l}\}$ of points in $ extbf{R}$ is slowly oscillating if for any given $\varepsilon>0$, there exist $α=α(\varepsilon)>0$, $δ=δ(\varepsilon) >0$, and $N=N(\varepsilon)$ such that $|x_{k,l}-x_{s,t}|

研究动机与目标

• 研究定义在 A×A⊂R² 上的可分解双函数的连续性相关性质。
• 引入并分析一种基于缓慢振荡序列的双函数新类型连续性。
• 以序列保持性为基础，建立一致连续性的表征。
• 将经典连续性与收敛性结果推广至双序列的语境。

提出的方法

• 通过参数 α(ε)、δ(ε) 和 N(ε) 定义缓慢振荡双序列，使得当 k,l ≥ N 且 s ∈ [(1+α)k, (1+α)k]，t ∈ [(1+δ)l, (1+δ)l] 时，有 |x_{k,l} - x_{s,t}| < ε。
• 应用一致连续性，证明一致连续函数保持缓慢振荡双序列。
• 利用双序列的波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理，从非一致连续函数中提取出缓慢振荡子序列。
• 使用 ε-δ 论证，证明若函数保持缓慢振荡序列，则其必为一致连续。
• 证明保持缓慢振荡双序列的函数序列的一致极限也保持此类序列。
• 将结果推广至在普林斯海姆意义下一致收敛的双序列函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 何种条件下，可分解双函数能保持缓慢振荡双序列？
• RQ2 能否通过序列保持性来表征二维实值函数的一致连续性？
• RQ3 保持缓慢振荡双序列是否意味着连续性或一致连续性？
• RQ4 保持缓慢振荡双序列的函数序列的一致极限在序列保持性方面表现如何？
• RQ5 双序列中 P-收敛与缓慢振荡之间的关系是什么？

主要发现

• 任何在 A×A 上一致连续的可分解双函数均保持缓慢振荡双序列。
• 若可分解双函数保持缓慢振荡双序列，则它也保持 P-收敛双序列。
• 二维实值函数在有界双区间 I×I 上一致连续，当且仅当它保持来自 I×I 的缓慢振荡双序列。
• 保持缓慢振荡双序列的函数序列的一致极限也保持此类序列。
• P-收敛或柯西双序列必为缓慢振荡，但反之不成立。
• 保持缓慢振荡双序列的双序列函数的一致 P-极限也保持此类序列。