[论文解读] Functor is to Lens as Applicative is to Biplate: Introducing Multiplate

Russell O’Connor|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2011

Logic, programming, and type systems被引用 14

一句话总结

本文提出了 Multiplate，这是 Haskell 中一种新的通用编程抽象，它通过使用秩-3多态性，将 Biplate 和 Compos 通用化，以支持相互递归的数据类型。它通过余代数与笛卡尔存储 Comonad 的范畴等价性，以及幺半群自然变换，建立了 Uniplate 和 Compos 核心类型的范畴同构，统一了它们的理论基础，并为复杂数据结构提供了一个更简单、更强大的通用遍历系统。

ABSTRACT

This paper gives two new categorical characterisations of lenses: one as a coalgebra of the store comonad, and the other as a monoidal natural transformation on a category of a certain class of coalgebras. The store comonad of the first characterisation can be generalized to a Cartesian store comonad, and the coalgebras of this Cartesian store comonad turn out to be exactly the Biplates of the Uniplate generic programming library. On the other hand, the monoidal natural transformations on functors can be generalized to work on a category of more specific coalgebras. This generalization turns out to be the type of compos from the Compos generic programming library. A theorem, originally conjectured by van Laarhoven, proves that these two generalizations are isomorphic, thus the core data types of the Uniplate and Compos libraries supporting generic program on single recursive types are the same. Both the Uniplate and Compos libraries generalize this core functionality to support mutually recursive types in different ways. This paper proposes a third extension to support mutually recursive data types that is as powerful as Compos and as easy to use as Uniplate. This proposal, called Multiplate, only requires rank 3 polymorphism in addition to the normal type class mechanism of Haskell.

研究动机与目标

• 统一现有通用编程库（如 Uniplate 和 Compos）的范畴基础。
• 将 Biplate 和 Compos 通用化，以原则化的方式支持相互递归数据类型，且类型安全、可组合。
• 提出一种新抽象 Multiplate，结合 Uniplate 的易用性与 Compos 的表达能力。
• 通过透镜与应用函子的范畴刻画，证明 Uniplate 和 Compos 的核心类型是同构的。
• 证明 Multiplate 仅需秩-3多态性，因此可在标准 Haskell 类型类机制中实现。

提出的方法

• 将透镜范畴化为存储 Comonad 的余代数，并将其推广至笛卡尔存储 Comonad。
• 识别出笛卡尔存储 Comonad 的余代数为 Uniplate 中 Biplate 类型的数学基础。
• 将 Compos 的组合（compos）刻画为特定余代数范畴上的幺半群自然变换。
• 证明两种泛化形式——笛卡尔存储 Comonad 余代数与幺半群自然变换——之间存在同构，从而统一了 Uniplate 与 Compos。
• 提出 Multiplate 作为一种新抽象，泛化两者，使用秩-3多态性支持对相互递归类型的遍历。
• 利用 Functor 与透镜、Applicative 与 Biplate 之间的范畴对偶性，指导 Multiplate 的设计与形式化。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以证明 Uniplate 和 Compos 的核心类型在范畴上同构？
• RQ2 如何以原则化方式泛化 Biplate 和 Compos，以支持相互递归数据类型？
• RQ3 Functor 与透镜、Applicative 与 Biplate 之间的对偶性背后的范畴结构是什么？
• RQ4 能否构建一种新的通用编程抽象，结合 Uniplate 的简洁性与 Compos 的强大表达能力？
• RQ5 表达此类泛化所需的类型系统特性是什么？是否仅通过秩-3多态性即可实现？

主要发现

• 笛卡尔存储 Comonad 的余代数与 Biplate 类型同构，为 Uniplate 的遍历机制提供了范畴基础。
• 特定余代数范畴上的幺半群自然变换与 Compos 类型同构，统一了其理论基础。
• 两种泛化形式之间的同构性确认了 Uniplate 与 Compos 的核心抽象在范畴上等价。
• 提出 Multiplate 作为一种新的通用编程抽象，支持相互递归类型，其表达能力与 Compos 相当，且具有 Uniplate 的易用性。
• Multiplate 的构建仅需秩-3多态性，因此可在标准 Haskell 类型类系统中实用化。
• 本文建立了正式的对偶性：Functor 之于透镜，正如 Applicative 之于 Biplate，而 Multiplate 是这一泛化的下一层次。