[论文解读] Functorial products for $GL_2 imes GL_3$ and the symmetric cube for $GL_2$

Henry H. Kim, Freydoon Shahidi+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2004

Advanced Algebra and Geometry参考文献 28被引用 15

一句话总结

本文通过朗兰兹-沙希迪方法与逆定理，建立了 $\mathrm{GL}_2 \times \mathrm{GL}_3$ 的函子性乘积，并证明了 $\mathrm{GL}_2$ 自守形式长期猜想的对称立方函子性。关键成果是首次在 Maass 形式特征值上取得 $5/34$ 的新界，打破了此前的 $1/6$ 障壁，推动了 Ramanujan-Petersson 与 Selberg 猜想的进展。

ABSTRACT

In this paper we prove two new cases of Langlands functoriality. The first is a functorial product for cusp forms on $GL_2 imes GL_3$ as automorphic forms on $GL_6$, from which we obtain our second case, the long awaited functorial symmetric cube map for cusp forms on $GL_2$. We prove these by applying a recent version of converse theorems of Cogdell and Piatetski-Shapiro to analytic properties of certain $L$-functions obtained from the method of Eisenstein series (Langlands-Shahidi method). As a consequence, we prove the bound 5/34 for Hecke eigenvalues of Maass forms over any number field and at every place, finite or infinite, breaking the crucial bound 1/6 (see below and Section 7 and 8) towards Ramanujan-Petersson and Selberg conjectures for $GL_2$. Many other applications are obtained.

研究动机与目标

• 建立 $\mathrm{GL}_2 \times \mathrm{GL}_3$ 上自守表示的函子性乘积作为 $\mathrm{GL}_6$ 上的自守形式。
• 证明 $\mathrm{GL}_2$ 残余形式的对称立方函子性存在，这是朗兰兹纲领中长期悬而未决的难题。
• 改进任意数域上 Maass 形式 Hecke 特征值的已知界，打破 Ramanujan-Petersson 猜想中 $1/6$ 的障碍。
• 应用朗兰兹-沙希迪方法与逆定理，从 Eisenstein 系列导出 $L$-函数的解析性质。

提出的方法

• 使用朗兰兹-沙希迪方法研究 $\mathrm{GL}_6$ 上 Eisenstein 系列相关的 $L$-函数，提取其解析性质，如亚纯延拓与函数方程。
• 应用 Cogdell 与 Piatetski-Shapiro 最近版本的逆定理，从 $L$-函数的解析行为推断张量积表示 $\pi_1 \times \pi_2$ 的自守性。
• 利用局部朗兰兹对应，将全局函子性乘积的局部分量 $\pi_{1v} \times \pi_{2v}$ 定义为 $\mathrm{GL}_6(F_v)$ 上的不可约适定表示。
• 利用 $\mathrm{GL}_6$ 上等标自守表示的分类，推得 $\mathrm{GL}_2$ 残余形式的对称立方是自守的。
• 应用 $\varepsilon$-因子与导子理论，比较相关表示的 $L$-函数与 $\varepsilon$-因子，在二次扩张下建立其相等性。
• 利用 $\mathrm{Sym}^3(\pi) = \mathrm{Ad}(\pi) \times \pi$ 的事实，将对称立方问题约化为 $\mathrm{GL}_2 \times \mathrm{GL}_3$ 的函子性乘积问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在 $\mathrm{GL}_2 \times \mathrm{GL}_3$ 残余形式的函子性乘积，作为 $\mathrm{GL}_6$ 上的自守形式？
• RQ2 是否 $\mathrm{GL}_2$ 残余形式的对称立方是自守的？在何种条件下其为残余形式？
• RQ3 能否将 Maass 形式 Hecke 特征值的界改进至 $1/6$ 以下？这对 Ramanujan-Petersson 与 Selberg 猜想有何意义？
• RQ4 对称立方函子性的精确像为何？其在何种情况下为残余形式？
• RQ5 如何应用逆定理，利用 $L$-函数的解析数据来确立自守性？

主要发现

• $\mathrm{GL}_2 \times \mathrm{GL}_3$ 残余形式的函子性乘积 $\pi_1 \times \pi_2$ 是 $\mathrm{GL}_6$ 上的自守形式，为等标形式，且由单位酉残余表示不可约诱导而成。
• $\mathrm{GL}_2$ 残余形式 $\pi$ 的对称立方 $\mathrm{Sym}^3(\pi)$ 是 $\mathrm{GL}_4$ 上的自守形式，且除非 $\pi$ 属于二面体或正四面体类型，否则为残余形式。
• 本文在任意数域上，于每个有限或无限位置，首次建立了 Maass 形式特征值绝对值的 $5/34$ 新界。
• 该界打破了此前的 $1/6$ 障壁，为 $\mathrm{GL}_2$ 的 Ramanujan-Petersson 猜想提供了重大进展。
• 当 $F = \mathbb{Q}$ 且 $\pi$ 是权 $\geq 2$ 的非二面体全模形式时，对称立方为残余形式。
• 证明依赖于朗兰兹-沙希迪方法所得的 $L$-函数解析性质，以及通过 $\varepsilon$-因子与导子行为应用逆定理以推断自守性。