[论文解读] Functorial transfer between relative trace formulas in rank one

Yiannis Sakellaridis|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文通过在 $(X\times X)/G$-相對跡公式與 $\mathrm{PGL}_2$ 或 $\mathrm{SL}_2$ 的庫茲涅措夫公式之間構造一個顯式的轉移算子，建立了秩一情形下相對跡公式的函子性轉移，並將 $L$-值 $L_X$ 納入測試測度空間。轉移透過傅里葉卷積實現，並被證明滿足基本引理，從而實現跡公式的統一全球比較，並將自守周期與特殊 $L$-值聯繫起來。

ABSTRACT

According to the Langlands functoriality conjecture, broadened to the setting of spherical varieties (of which reductive groups are special cases), a map between L-groups of spherical varieties should give rise to a functorial transfer of their local and automorphic spectra. The "Beyond Endoscopy" proposal predicts that this transfer will be realized as a comparison between the (relative) trace formulas of these spaces. In this paper we establish the local transfer for the identity map between L-groups, for spherical affine homogeneous spaces X=H\G whose dual group is SL(2) or PGL(2) (with G and H split). More precisely, we construct a transfer operator between orbital integrals for the (X x X)/G-relative trace formula, and orbital integrals for the Kuznetsov formula of PGL(2) or SL(2). Besides the L-group, another invariant attached to X is a certain L-value, and the space of test measures for the Kuznetsov formula is enlarged, to accommodate the given L-value. The fundamental lemma for this transfer operator is proven in a forthcoming paper of Johnstone and Krishna. The transfer operator is given explicitly in terms of Fourier convolutions, making it suitable for a global comparison of trace formulas by the Poisson summation formula, hence for a uniform proof, in rank one, of the relations between periods of automorphic forms and special values of L-functions.

研究动机与目标

• 建立球對稱空間 $X = H\backslash G$（其對偶群為 $\mathrm{SL}_2$ 或 $\mathrm{PGL}_2$）的相對跡公式與 $G^* = \mathrm{PGL}_2$ 或 $\mathrm{SL}_2$ 的庫茲涅措夫公式之間的統一、函子性比較。
• 透過擴大測試測度空間，解決相對跡公式（含 $L_X(\varphi)$）與庫茲涅措夫公式（含 $1/L(\varphi,\mathrm{Ad},1)$）之間譜權重的不匹配問題。
• 構造一個顯式的轉移算子 $\mathcal{T}$，將庫茲涅措夫商空間上的施瓦茨測度映射至相對跡公式空間，且與泊松求和相容。
• 透過實現譜轉移的跡公式比較，為秩一情形下廣義 Ichino–Ikeda 猜想的全球證明提供基礎步驟。

提出的方法

• 轉移算子 $\mathcal{T}$ 作為 $X\times X/G$ 上的軌道積分與 $G^*$ 的庫茲涅措夫公式之間的傅里葉卷積，被顯式構造。
• 透過納入 $L$-值 $L_X(\varphi)$，擴大庫茲涅措夫公式的測試測度空間，以反映相對跡公式中的譜差異。
• 該構造依賴於 Knop 對 $\mathfrak{c}_X^*$ 上阿貝爾群概形 $J$ 的理論，以及透過在閉軌道上進行爆破來解析 $X\times X/G$。
• 使用瞬時映射 $\mu_{\mathrm{inv}}: T^*X \to \mathfrak{c}_X^*$ 及其極化 $\widehat{T^*X}$ 分析布爾軌道與不變理論商空間。
• 施瓦茨測度被拉回到爆破空間，再前推至 $\mathfrak{c}_X^*$，從而實現對商空間的積分。
• 轉移算子的基本引理在 Johnstone 與 Krishna 的合作論文中得到證明，確保其與跡公式恆等式相容。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何比較球對稱空間 $X$（其 $\check{G}_X = \mathrm{SL}_2$ 或 $\mathrm{PGL}_2$）的相對跡公式譜側與 $G^*$ 的庫茲涅措夫公式？
• RQ2 庫茲涅措夫公式的測試測度空間需如何修改，才能與相對跡公式中的 $L$-因子 $L_X(\varphi)$ 相匹配？
• RQ3 能否透過傅里葉卷積，顯式構造相對跡公式與庫茲涅措夫公式之間軌道積分的線性轉移算子？
• RQ4 不變理論結構 $X\times X/G$（特別是其爆破與 $G$-商）如何支援轉移算子的構造？
• RQ5 此構造在多大程度上能透過泊松求和實現跡公式的全球比較，從而建立自守周期與 $L$-值之間的關係？

主要发现

• 構造了一個顯式的轉移算子 $\mathcal{T}: \mathcal{S}^{-}_{L_X}(N_\psi\backslash G^*/N_\psi) \xrightarrow{\sim} \mathcal{S}(X\times X/G)$，在擴大的庫茲涅措夫空間與標準相對跡公式空間之間建立映射。
• 轉移算子以傅里葉卷積形式實現，使其適用於透過泊松求和進行全球比較，並實現週期–$L$-函數關係的統一證明。
• 系統性地擴大了庫茲涅措夫公式的測試測度空間，以納入 $L$-值 $L_X(\varphi)$，修正了與相對跡公式之間的譜不匹配。
• 轉移算子的基本引理在 Johnstone 與 Krishna 的合作論文中得到證明，驗證了局部轉移的正確性，並確保與跡公式恆等式的相容性。
• 該構造為秩一情形下「超越端息」提案提供了具體實現，將函子性與跡公式比較聯繫起來。
• 該方法建立了一套框架，用於在廣義 Ichino–Ikeda 猜想的秩一球對稱空間背景下，將自守周期與 $L$-函數的特殊值聯繫起來。