[论文解读] Functoriality and the Inverse Galois problem II: groups of type B_n and G_2

Chandrashekhar Khare, Michael Larsen+1 more|ArXiv.org|Jul 5, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 20被引用 8

一句话总结

该论文将基于函子性的方法扩展至在 Q 上实现类型为 B_n 和 G_2 的有限单群作为伽罗瓦群，通过分别从 Sp_{2n} 和 G_2 到 GL_{2n+1} 和 GL_7 的自守表示的函子提升实现。通过构造具有受控局部分量（尤其在 p=2 处针对 B_n，以及通过 Shin 的改进处理 G_2）的自守对偶 cuspidal 自守表示，证明了对于任意 t>0，存在被 t 整除的 k，使得 SO_{2n+1}(F_{ℓ^k})^{der} 或 G_2(F_{ℓ^k}) 作为伽罗瓦群出现在 Q 上，且在 {∞, ℓ, q} 外无分歧。

ABSTRACT

For every finite field F and every positive integer r, there exists a finite extension F' of F such that either SO(2r+1,F') or its simple derived group can be realized as a Galois group over Q. If the characteristic of F is 3 or 5 (mod 8), then we can guarantee that the derived group of SO(2r+1,F') can be realized. Likewise, for every finite field F, there exists a finite extension F' of F such that the finite simple group G_2(F') can be realized a Galois group over Q. The proof uses automorphic forms to construct Galois representations which cut out Galois extensions of the desired type.

研究动机与目标

• 通过自守方法在 Q 上解决类型为 B_n 和 G_2 的有限单群的逆伽罗瓦问题。
• 通过在 p=2 处使用局部分量，克服 GL_{2n+1}(Q_p) 在 p≠2 时缺乏自守对偶超临界表示的障碍。
• 将先前工作中基于函子性的伽罗瓦表示构造方法扩展至 C_n(ℓ^k) 之外的例外群和经典群。
• 证明对于任意给定的 t，存在被 t 整除的 k，使得 SO_{2n+1}(F_{ℓ^k})^{der} 和 G_2(F_{ℓ^k}) 的伽罗瓦群同构于 Q 上的伽罗瓦群。

提出的方法

• 通过 Cogdell-Kim-Piatetski-Shapiro-Shahidi 与 Jiang-Soudry 的方法，利用从 Sp_{2n} 到 GL_{2n+1} 的全局函子提升，构造 GL_{2n+1}(A) 上的自守对偶 cuspidal 自守表示。
• 确保在 p=2 处的局部分量为深度为一的自守对偶超临界表示，其 Langlands 参数包含 SO_{2n+1}(C) 的 Jordan 子群。
• 利用 Shin 对 Langlands 参数定理的改进，构造 ℓ-进伽罗瓦表示，而无需在有限位置要求平方可积性，适用于 G_2。
• 将 ℓ-进表示模 ℓ 化，利用局部伽罗瓦像的深度嵌入性质，确保剩余表示的像是 B_n 或 G_2 型的单群。
• 通过选择满足 Π_q 为深度 0 的超临界表示的素数 q≠2，控制分歧性，确保在 {∞, ℓ, q} 外无分歧。
• 利用 E_7 的最小表示的 theta 对应，从 G_2 到 Sp_6，再至 GL_7，构造 G_2 所需的自守表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过自守形式与函子性，在 Q 上实现 B_n 和 G_2 型的有限单群作为伽罗瓦群？
• RQ2 当 p≠2 时 GL_{2n+1} 缺乏自守对偶超临界表示，如何在 p=2 处构造具有受控局部分量的 GL_{2n+1} 上的自守对偶 cuspidal 自守表示？
• RQ3 Shin 对 Langlands 参数定理的改进在多大程度上可避免 ℓ-进伽罗瓦表示构造中的平方可积性假设？
• RQ4 在何种条件下，由自守形式附着的 ℓ-进伽罗瓦表示模 ℓ 化后，其像为 B_n 或 G_2 型的单群？
• RQ5 该方法能否推广至其他例外群（如 F_4），通过在这些群上的自守形式附着 ℓ-进表示？

主要发现

• 对于任意正整数 t 和素数 ℓ，存在被 t 整除的 k，使得 G_2(F_{ℓ^k}) 作为伽罗瓦群出现在 Q 上，且在 {∞, ℓ, q} 外无分歧。
• 对于奇素数 ℓ，存在被 t 整除的 k，使得 SO_{2n+1}(F_{ℓ^k})^{der} 或 SO_{2n+1}(F_{ℓ^k}) 作为伽罗瓦群出现在 Q 上。
• 当 ℓ≡3,5(mod 8) 时，SO_{2n+1}(F_{ℓ^k})^{der} 的伽罗瓦群在 Q 上被实现，这是由于 2 在二次域 Q(√−ℓ) 中的分裂行为所致。
• B_n 的构造依赖于在 p=2 处具有 Jordan 子群像的自守对偶超临界表示，确保伽罗瓦像中的深度嵌入，并控制模 ℓ 化后的结果。
• 对于 G_2，使用 Shin 的改进使得可在不需平方可积位置的条件下构造 ℓ-进表示，从而实现 G_2(F_{ℓ^k}) 作为伽罗瓦群。
• 该方法为将逆伽罗瓦问题推广至其他例外群（如 F_4）提供了框架，前提是可为这些群上的自守形式附着 ℓ-进表示。