[论文解读] Fundamental Conditions for Low-CP-Rank Tensor Completion

Morteza Ashraphijuo, Xiaodong Wang|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2017

Tensor decomposition and applications参考文献 27被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于代数几何的CP流形分析方法，推导出低CP秩张量完成的确定性必要与充分条件。通过将每个观测到的张量条目建模为CP分解分量中的多项式，证明了有限完成性等价于具有特定数量的代数独立多项式，从而相较于现有的Grassmannian方法，样本需求量显著降低。

ABSTRACT

We consider the problem of low canonical polyadic (CP) rank tensor completion. A completion is a tensor whose entries agree with the observed entries and its rank matches the given CP rank. We analyze the manifold structure corresponding to the tensors with the given rank and define a set of polynomials based on the sampling pattern and CP decomposition. Then, we show that finite completability of the sampled tensor is equivalent to having a certain number of algebraically independent polynomials among the defined polynomials. Our proposed approach results in characterizing the maximum number of algebraically independent polynomials in terms of a simple geometric structure of the sampling pattern, and therefore we obtain the deterministic necessary and sufficient condition on the sampling pattern for finite completability of the sampled tensor. Moreover, assuming that the entries of the tensor are sampled independently with probability $p$ and using the mentioned deterministic analysis, we propose a combinatorial method to derive a lower bound on the sampling probability $p$, or equivalently, the number of sampled entries that guarantees finite completability with high probability. We also show that the existing result for the matrix completion problem can be used to obtain a loose lower bound on the sampling probability $p$. In addition, we obtain deterministic and probabilistic conditions for unique completability. It is seen that the number of samples required for finite or unique completability obtained by the proposed analysis on the CP manifold is orders-of-magnitude lower than that is obtained by the existing analysis on the Grassmannian manifold.

研究动机与目标

• 推导低CP秩张量有限完成性在采样模式上的确定性必要与充分条件。
• 在给定CP秩下，建立唯一完成性的确定性充分条件。
• 开发组合工具，以界定采样概率的上界，确保在高概率下实现有限完成性。
• 证明基于CP流形的分析相较于现有的展开/Grassmannian方法，可显著降低样本需求量。

提出的方法

• 将每个观测到的张量条目建模为CP分解中秩-1分量条目的多项式。
• 定义一种几何模式以对CP分解进行分类，从而刻画多项式之间的代数独立性。
• 利用Bernstein定理与代数几何，根据采样模式的结构确定代数独立多项式数量的最大值。
• 开发采样概率的组合界，以确保在独立同分布随机采样下，高概率实现有限完成性。
• 将该框架应用于推导有限完成性与唯一完成性所需的样本下限，并与基于展开的方法进行比较，结果表现更优。
• 利用概率集中不等式，建立在随机采样下完成性的高概率保证。

实验结果

研究问题

• RQ1 何种采样模式的确定性条件可确保低CP秩张量的有限完成性？
• RQ2 何种采样模式的条件可保证低CP秩张量的唯一完成性？
• RQ3 如何基于采样模式的几何结构最大化代数独立多项式的数量？
• RQ4 采样概率的何种下限可确保以高概率实现有限完成性？与现有方法相比如何？
• RQ5 与基于Grassmannian流形展开的方法相比，基于CP流形的分析如何显著降低样本需求量？

主要发现

• 有限完成性等价于从采样条目中导出的特定数量的代数独立多项式。
• 通过采样模式结构的简单几何函数，可表征代数独立多项式数量的最大值。
• 所提出的方法相较于基于Grassmannian流形分析的展开方法，将所需样本数量降低了数量级。
• 对于大小为1000^7的7方式张量，CP秩最高达150时，基于CP的方法所需样本数显著低于基于展开的方法。
• 当采样概率超过由组合界导出的阈值时，以高概率可保证有限完成性，优于现有松散界。
• 该方法同时提供有限完成性与唯一完成性的确定性与概率性条件，并给出明确的样本量保证。