[论文解读] Fundamental groups of compact Kahler varieties with nef anti canonical bundle

Xin Fu, Bin Guo+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2026

Geometry and complex manifolds被引用 0

一句话总结

扩展 Paun 的几乎阿贝尔基本群结果至轻微奇异的紧凑 Kähler 猪 varieties，与 nef-反规范数据相关，通过 RCD 空间方法与 Albanese 映射满射性；在 lc/klt 设置与三维情形下证明几乎阿贝尔的 π1。

ABSTRACT

It is proved by M. Paun (1997, 2017) that the fundamental group of a compact Kahler manifold X is almost Abelian if the anti-canonical bundle -KX is nef. In this paper, we apply the recent geometric analytic theory of Kahler spaces developed by Guo-Phong-Song-Sturm to study fundamental groups of mildly singular compact Kahler varieties. We first extend Paun's result to log canonical pairs (X,Delta) with smooth X and nef -(KX+Delta) as well as to compact Kahler manifolds X with pseudo-effective -KX under a suitable assumption on the singularities of c1(-KX). We further prove that, for a 3-dimensional log canonical pair (X,Δ) with X being klt, pi 1(X) is almost Abelian if -(KX+Δ) is nef. Moreover, as one of the main ingredients for the proof of these results, we establish the surjectivity of the Albanese maps of compact normal complex varieties X in Fujiki class C that admits an effective R-divisor Δsuch that the pair (X,Δ) is log canonical with nef anti-log canonical divisor -(KX+Δ).This generalizes the corresponding theorems for projective varieties (Zhang, 2005), for klt pairs (Matsumura-Wang-Wu-Zhang, 2025) and for log smooth case (Fu-Han-Zou, 2025)

研究动机与目标

• 将 Paun 的几乎阿贝尔基本群结果推广至带 nef −(KX+Δ) 的对数规范对 (X, Δ)；
• 在适当的奇异性条件下，将框架扩展到具有伪有效 −KX 的紧凑 Kähler 流形；
• 在 lc 对下的 Fujiki class C 绘制 Albanese 映射的满射性；
• 提供一个统一复杂几何、PDE 与度量测度空间理论来研究 π1 的策略；
• 将 lc 情况与Abelianity 猜想及特殊流形的更广泛猜想联系起来

提出的方法

• 在固定 Kähler 范畴中构造 Ricci 几乎非负的 Kähler 流形来产生拓扑同胚于 X 的 RCD 空间；
• 对 RCD 空间应用度量测度空间 Margulis 引理以导出 π1 的虚可限性；
• 利用带奇异数据的复 Monge–Ampère 方程对度量进行正则化并获得收敛到 RCD 空间；
• 通过将已知的投影和光滑结果推广到 Fujiki class C，在 lc 情况下证明 Albanese 映射的满射性；
• 利用渐近 kjlt 类理论控制奇异性并实现解析的 Nash 型正则化

实验结果

研究问题

• RQ1 对于紧凑的 klt Kähler 流形及 lc 对，若 −(KX+Δ) 为 nef，则 π1(X) 是否仍然几乎阿贝尔？
• RQ2 对于带 lc 对的 Fujiki class C 流形，是否可以证明 Albanese 映射的满射性？
• RQ3 在何种奇异性假设下 −KX 为伪有效会强制 π1(X) 几乎阿贝尔？
• RQ4 如何利用 RCD 空间理论将 Paun 形式的结果扩展到轻度奇异的 Kähler 空间？
• RQ5 lc 情况在 Kollár 与 Campana 的 Abelianity 猜想中的作用是什么？

主要发现

• 在 lc 条件下且 −(KX+Δ) 为 nef 的前提下，若对 RCD 空间的猜想 1.4 成立，则 π1(X) 几乎阿贝尔；
• 通过构造与 X 同胚的 Ricci 准非负 RCD 空间来得到 π1 的虚可整性；
• X 的 Albanese 映射在 lc Fujiki class C 设置下具有一个平滑模型并且是丛的结构，与已知结果推广一致；
• 在维度三中，−(KX+Δ) 的 nef 假设在不假设投影性的前提下也可得到几乎阿贝尔的 π1；
• 定理 1.3 将 Albanese 映射的满射性推广至在 lc 对与 nef −(KX+Δ) 的 Fujiki class C 的奇异 X。