[论文解读] Fundamental Klein-Gordon equation from stochastic mechanics in curved spacetime

Eric S. Escobar-Aguilar, Tonatiuh Matos+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2023

Cosmology and Gravitation Theories被引用 4

一句话总结

本文從隨機力學框架推導出彎曲時空中基本的 Klein-Gordon 方程，顯示量子粒子因普遍的重力波背景（GWB）而遵循隨機軌跡。隨機形式化導出非相對論極限下的推廣版薛定谔方程，暗示量子力學可能源自於 GWB 內在的時空漲落。

ABSTRACT

This work presents an alternative approach to obtain the quantum field equations in curved spacetime, considering that sufficiently small particles follow stochastic trajectories around geodesic. Our proposal is based on a stochastic differential equation in which the noise term experienced by the quantum particles is a consequence of the stochastic background in spacetime. This fact allows the particles to describe erratic movements and locally the universe exhibits characteristics akin to a lake with gentle ripples rather than a flat unyielding surface. Building upon this foundational understanding, we investigate the influence of this background on quantum-scale particles without considering the metric to be stochastic, rather we let test particles move randomly around the geodesic of macroscopic particles. Their behavior aligns with solutions to the Klein-Gordon (KG) equation specific to this curved spacetime. As the KG equation, in its non-relativistic limit within a flat spacetime, reduces to the Schrödinger equation, consequently, we propose a compelling connection: the Schrödinger equation may emerge directly from a spacetime lacking local smoothness.

研究动机与目标

• 建立量子力學與時空漲落之間的理論連結，透過隨機軌跡模型。
• 研究重力波背景（GWB）的存在如何破壞量子粒子的測地線運動。
• 使用馬可夫型朗之萬方法，從隨機動力學推導彎曲時空中之 Klein-Gordon 方程。
• 展示推廣版薛定諤方程如何作為廣義隨機形式化之非相對論極限而出現。
• 為廣義相對論內的相對論性隨機量子力學提供基礎框架。

提出的方法

• 將隨機項引入牛頓第二定律，將粒子軌跡建模為具有高斯白噪音的馬可夫型擴散過程。
• 使用含維納過程 $ dW(t) $ 的朗之萬方程，描述作用於量子粒子上的隨機力。
• 應用馬杜林變換，將隨機動力學轉換為流體力學方程：連續性方程與類納維爾-史托克斯方程。
• 透過結合連續性方程與隨機動量方程，推導彎曲時空中之 Klein-Gordon 方程。
• 對廣義薛定諤方程施加非相對論極限，在特定條件下恢復標準薛定諤方程。
• 利用隨機微分算子與福克-普朗克方程，描述粒子密度與速度的演化。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子力學能否從充滿重力波背景的時空中粒子軌跡之隨機描述中產生？
• RQ2 具有康普頓波長 $ \rho $ 的 GWB 如何修改量子粒子的標準運動方程？
• RQ3 在多大程度上可從基本隨機動力學推導彎曲時空中之 Klein-Gordon 方程，而非僅僅假設？
• RQ4 在何種條件下，廣義隨機形式化會簡化為標準薛定諤方程？
• RQ5 隨機力學框架能否在馬可夫形式下一致地延伸至廣義相對論？

主要发现

• 彎曲時空中之 Klein-Gordon 方程，係由帶有馬可夫型漲落力的牛頓第二定律之隨機形式推導而出。
• 在非相對論極限下獲得廣義薛定諧方程，確認標準量子力學可從隨機動力學中出現。
• 隨機軌跡模型提供了一個物理上真實、馬可夫型的量子粒子描述，與 Nelson 的隨機力學框架一致。
• 電磁力、重力與量子力自然地出現在理論形式中，作為隨機動力學的結果。
• 該方法成功解決了 Nelson 所提出的廣義相對論背景下馬可夫型隨機力學之開放問題。
• 推導結果確認薛定諧方程並非基本方程，而是嵌入 GWB 時空之更深層隨機過程的極限定義。