[论文解读] Fundamental limitations on optimization in variational quantum algorithms

Hao-Kai Zhang, Chengkai Zhu+2 more|arXiv (Cornell University)|May 10, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 4

一句话总结

本文通过证明：对于随机初始化的参数化量子线路，其在局部酉操作下的代价函数变化范围随量子比特数呈指数衰减，从而确立了变分量子算法（VQAs）的根本限制。该结果统一并推广了“ barren plateau”现象，揭示即使在无噪声情况下，由于高维希尔伯特空间的存在，VQAs 的优化仍面临固有的指数级缩放挑战。

ABSTRACT

Exploring quantum applications of near-term quantum devices is a rapidly growing field of quantum information science with both theoretical and practical interests. A leading paradigm to establish such near-term quantum applications is variational quantum algorithms (VQAs). These algorithms use a classical optimizer to train a parameterized quantum circuit to accomplish certain tasks, where the circuits are usually randomly initialized. In this work, we prove that for a broad class of such random circuits, the variation range of the cost function via adjusting any local quantum gate within the circuit vanishes exponentially in the number of qubits with a high probability. This result can unify the restrictions on gradient-based and gradient-free optimizations in a natural manner and reveal extra harsh constraints on the training landscapes of VQAs. Hence a fundamental limitation on the trainability of VQAs is unraveled, indicating the essential mechanism of the optimization hardness in the Hilbert space with exponential dimension. We further showcase the validity of our results with numerical simulations of representative VQAs. We believe that these results would deepen our understanding of the scalability of VQAs and shed light on the search for near-term quantum applications with advantages.

研究动机与目标

• 识别并形式化变分量子算法（VQAs）可训练性的根本限制，超越基于梯度的分析。
• 研究在随机参数化量子线路中调整单个局部量子门时，代价函数变化范围的特性。
• 在单一理论框架下统一基于梯度与无梯度优化在 VQAs 中的约束。
• 提供一个严格的缩放定理，解释高维量子希尔伯特空间中固有的优化困难。

提出的方法

• 证明：对于构成 2-设计 的随机参数化量子线路，其在局部酉操作下代价函数的期望变化范围随量子比特数呈指数衰减。
• 使用酉 1-设计和 2-设计 来建模随机线路，并应用保真度相关界来分析代价函数的敏感性。
• 应用布雷斯保真度及其在量子通道下的单调性，推导出局部优化过程中最大和最小可实现保真度的上界。
• 运用集中不等式和马尔可夫不等式，对变化范围的方差和尾部概率进行上界估计。
• 推导出代价函数变化范围的一般上界为 dA/dB，其中 dA 为局部子系统的维数，dB 为其余系统的维数。
• 通过在代表性 VQAs（包括一维反铁磁海森堡模型的 VQE）上的数值模拟验证理论结果，结果与预测的指数衰减率一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 在随机 VQA 线路中优化单个局部门时，代价函数变化范围的缩放行为如何？
• RQ2 代价函数变化范围与 VQAs 中梯度消失问题有何关联？
• RQ3 能否建立一个统一的理论框架，解释 VQAs 中基于梯度与无梯度优化的限制？
• RQ4 高维量子系统中优化难度指数级缩放的根本机制是什么？
• RQ5 随机线路结构与设计特性（如 2-设计）在多大程度上决定 VQAs 的可训练性？

主要发现

• 在局部酉操作下，代价函数的期望变化范围随量子比特数呈指数衰减，对数尺度下的衰减率为 −0.5，与数值模拟结果一致。
• 变化范围的理论最大上界为 dA/dB，当局部子系统为 m 个量子比特、其余部分为 n−m 个量子比特时，该上界为 1/2n−2m。
• 变化范围的方差也被限制且呈指数衰减，表明在随机线路中代价函数对局部门的改变高度不敏感。
• 该结果统一了“荒芜高原”现象，并将其扩展至梯度之外，表明即使代价函数差异也呈指数级消失。
• 对一维反铁磁海森堡模型的 VQE 数值模拟证实了预测的指数衰减，半对数图中变化范围与量子比特数的关系斜率为 −0.5。
• 分析表明，当线路深度约为 10×n 时，系统过渡到 2-设计，此时理论边界开始有效。