[论文解读] Fundamental PDE's of the Canonical Almost Geodesic Mappings of Type ${ ildeπ}_1$

V. E. Berezovski, Josef Mikeš+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 4被引用 5

一句话总结

本文建立了描述从具有线性联络的流形到伪黎曼空间与广义里奇对称空间之间存在典范几乎测地映射类型 ${\tilde{\pi}}_1$ 的柯西型一阶偏微分方程组（PDEs）的封闭系统。关键贡献在于提出了此类映射存在的充要条件，该条件通过涉及曲率张量与联络系数的可积PDE系统表述，推广了辛尤科夫早期的结果，并表明解空间最多依赖于 $\frac{1}{6}n(n+1)(2n^3 - 4n^2 + 5n + 3)$ 个参数。

ABSTRACT

For modelling of various physical processes, geodesic lines and almost geodesic curves serve as a useful tool. Trasformations or mappings between spaces (endowed with a metric or connection) which preserve such curves play an important role in physics, particularly in mechanics, and in geometry as well. Our aim is to continue investigations concerning existence of almost geodesic mappings of manifolds with linear (affine) connection, particularly of the so-called ${ ilde π}_1$ mappings, i.e. canonical almost geodesic mappings of type $π_1$ according to Sinyukov. First we give necessary and sufficient conditions for existence of ${ ilde π}_1$ mappings of a manifold endowed with a linear connection onto pseudo-Riemannian manifolds. The conditions take the form of a closed system of PDE's of first order of Cauchy type. Further we deduce necessary and sufficient conditions for existence of ${ ilde π}_1$ mappings onto generalized Ricci-symmetric spaces. Our results are generalizations of some previous theorems obtained by N.S. Sinyukov.

研究动机与目标

• 确定从具有线性联络的流形到伪黎曼空间之间存在典范几乎测地映射类型 ${\tilde{\pi}}_1$ 的必要与充分条件。
• 将辛尤科夫关于几乎测地映射的先前结果推广至广义里奇对称空间。
• 将存在性问题表述为柯西型的一阶PDE封闭系统，以实现解的可枚举性与近似求解。
• 推导出控制广义里奇对称流形族中此类映射存在的参数最大数量。

提出的方法

• 通过联络与曲率张量的结构，推导出控制 ${\tilde{\pi}}_1$ 映射存在的协变导数下的一阶PDE系统。
• 引入张量场 $P^h_{ij}$ 与 $a_{ij}$ 以表示映射的几何数据，并确保其与目标空间曲率的相容性。
• 利用黎曼曲率张量 $\bar{R}^h_{jm\ell,i}$ 的协变导数构造可积系统（41），该系统通过 $R^h_{jm\ell i}$ 表达。
• 应用代数约束（42）以确保对称性与里奇型零化条件：$P^{h}_{ij} = P^{h}_{ji}$，$a_{ij} = a_{ji}$，以及 $\bar{R}^h_{i(jk)} = 0$，$R^h_{i(jk)\ell} = 0$。
• 通过涉及 $P^h_{ij}$ 与曲率分量的修正项，将系统从 $\bar{\nabla}$-导数转换为 $\nabla$-导数。
• 在对称性与曲率约束（42）下，验证系统（14）、（33）、（40）与（41）的可积性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有线性联络的流形可存在典范几乎测地映射类型 ${\tilde{\pi}}_1$ 到伪黎曼空间？
• RQ2 控制此类映射存在的PDE系统为何种形式？该系统是否为柯西型且具有有限参数解？
• RQ3 如何将辛尤科夫关于 ${\tilde{\pi}}_1$ 映射的结果推广至广义里奇对称目标空间？
• RQ4 在可作为此类映射像的广义里奇对称流形族中，自由参数的最大数量是多少？
• RQ5 曲率张量与联络系数如何相互作用，以确保映射系统的可积性？

主要发现

• 从具有线性联络的流形到伪黎曼空间之间存在 ${\tilde{\pi}}_1$ 映射，当且仅当求解一个柯西型的一阶PDE封闭系统。
• 该系统是可积的，其存在依赖于满足方程（14）、（33）、（40）与（41）以及对称性约束（42）的张量场 $P^h_{ij}$、$a_{ij}$、$\bar{R}^h_{ijk}$ 与 $R^h_{ijkm}$。
• 对于广义里奇对称目标空间，相同的系统刻画了 ${\tilde{\pi}}_1$ 映射的存在性。
• 此类映射的解空间最多依赖于 $\frac{1}{6}n(n+1)(2n^3 - 4n^2 + 5n + 3)$ 个实参数，如（43）所述。
• 所推导的系统通过将辛尤科夫早期关于 ${\tilde{\pi}}_1$ 映射的结果推广至广义里奇对称流形，实现了推广。
• 通过验证方程（14）、（33）、（40）与（41）满足所需的代数与微分约束（42），确认了系统的可积性。