[论文解读] Fundamental principles for generalized Willis metamaterials

René Pernas-Salomón, Gal Shmuel|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2020

Acoustic Wave Phenomena Research参考文献 98被引用 4

一句话总结

本文确立了广义威利斯超材料在被动性、互易性和因果性方面的基本物理约束，这些超材料不仅表现出与机械应变和速度的动量耦合，还通过压电效应与电场耦合。作者推导出有效材料参数的数学限制，使理论与实验结果的验证成为可能，并为波操控应用中设备响应的最大值设定了边界。

ABSTRACT

Metamaterials whose momentum is constitutively coupled with their strain show promise in wave manipulation for engineering purposes and are called Willis materials. They were discovered using an effective medium theory which shows that their response is non-local in space and time. Recently, we generalized this theory to account for piezoelectricity and demonstrated that the effective momentum can depend constitutively on the electric field, thereby enlarging the design space for metamaterials. Here, we develop the mathematical restrictions on the effective properties of such generalized Willis materials, owing to passivity, reciprocity, and causality. Establishing these restrictions is of fundamental significance, as they test the validity of theoretical and experimental results and applicational importance since they provide elementary bounds for the maximal response that potential devices may achieve.

研究动机与目标

• 基于基本物理原理，建立广义威利斯超材料有效性质的严格数学限制。
• 将先前针对标准威利斯材料的研究扩展至包含压电耦合的情形，其中动量与电场耦合，速度与电位移耦合。
• 通过强制实施被动性、互易性和因果性，确保此类超材料的理论与实验结果在物理上是可接受的。
• 为基于这些材料的波操控器件中可实现的最大响应提供定量边界。
• 将互易性分析推广至长波长极限之外，即使对标准威利斯材料也提供了新见解。

提出的方法

• 建立包含机械动量/速度与电场之间耦合的压电复合材料广义威利斯方程。
• 应用被动性、互易性和因果性原理，推导频率域中有效材料张量的约束条件。
• 利用傅里叶变换与对称性分析，推导复值材料响应函数之间的关系，如 $\check{\mathbf{W}}(\bm{\kappa},\omega) = -\check{\mathbf{W}}^{*}(-\bm{\kappa},\omega)$。
• 引入一种受先前弹性理论启发的改进型均质化公式，确保与互易性和能量守恒的一致性。
• 分析格林函数与响应核的对称性，推导时间反演与互易性条件。
• 推导统计均匀介质下的条件 $\tilde{\mathbf{W}}^{\dagger}(\mathbf{x},\mathbf{X}) = -\tilde{\mathbf{W}}^{\mathsf{T}*}(\mathbf{X},\mathbf{x})$，从而在傅里叶域中得出最终的互易性关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 被动性、互易性和因果性对具有压电耦合的广义威利斯超材料有效性质施加了哪些数学约束？
• RQ2 机械动量与电场之间的耦合项如何影响材料响应的对称性与可接受性？
• RQ3 该互易性条件能否推广至长波长极限之外？这会带来哪些新约束？
• RQ4 所推导的约束如何用于验证超材料设计中的实验或数值结果？
• RQ5 基于这些广义威利斯材料，波操控器件中可实现的最大响应的根本边界是什么？

主要发现

• 本文推导出基本的互易性关系 $\check{\mathbf{W}}(\bm{\kappa},\omega) = -\check{\mathbf{W}}^{*}(-\bm{\kappa},\omega)$，该关系将先前结果推广至非长波长区域。
• 被动性要求有效材料响应的虚部为半正定，确保能量耗散不违反热力学原理。
• 互易性导致在时间反演与空间反演下响应函数之间的对称关系，形式化为 $\tilde{\mathbf{W}}^{\dagger}(\mathbf{x},\mathbf{X}) = -\tilde{\mathbf{W}}^{\mathsf{T}*}(\mathbf{X},\mathbf{x})$。
• 因果性通过克雷默-克罗尼格关系实现，该关系将频率域响应的实部与虚部联系起来，确保不存在非因果行为。
• 所推导的约束为测试广义威利斯材料的理论模型与实验数据的物理可接受性提供了一个框架。
• 结果表明，波控器件中的最大响应从根本上受到这些物理原理的限制，为实现最优性能提供了设计边界。