[论文解读] Fundamental Relativistic Rotator as a model of spinning particle. A Hessian degeneracy and the issue of minimal coupling to electromagnetic field

Łukasz Bratek|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2010

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 8被引用 1

一句话总结

本文通过物理自由度的Hessian奇异条件，识别出自旋粒子的唯一基本相对论性旋转器模型，表明该奇异性质在电磁场的最小耦合下依然存在。由此产生的约束限制了初始条件，并导致在任意场中演化不确定，仅在特定情况（如均匀磁场）下由于对称性可获得唯一解。

ABSTRACT

There are two relativistic rotators with Casimir invariants of the Poincare group being fixed parameters. The particular models of spinning particles were studied in the past both at the classical and quantum level. Recently, a minimal interaction with electromagnetic field has been considered. We show that the dynamical systems can be uniquely singled out from among other relativistic rotators by the unphysical requirement that the Hessian referring to the physical degrees of freedom should be singular. Closely related is the fact that the equations of free motion are not independent, making the evolution indeterminate. We show that the Hessian singularity cannot be removed by the minimal interaction with the electromagnetic field. By making use of a nontrivial Hessian null space, we show that a single constraint appears in the external field for consistency of the equations of motion with the Hessian singularity. The constraint imposes unphysical limitation on the initial conditions and admissible motions. We discuss the mechanism of appearance of unique solutions in external fields on an example of motion in the uniform magnetic field. We give a simple model to illustrate that similarly constrained evolution cannot be determinate in arbitrary fields.

研究动机与目标

• 通过物理自由度的Hessian奇异条件，识别出自旋粒子的唯一相对论性旋转器模型。
• 研究电磁场的最小耦合是否能解决由Hessian退化引起的不确定性。
• 分析在外部场中，由Hessian零空间施加的约束下运动方程的一致性。
• 确定在何种条件下，外部场中会出现唯一解，特别是均匀磁场的情况。

提出的方法

• 应用物理自由度二阶导数Hessian矩阵必须奇异的条件，从所有可能模型中选出基本相对论性旋转器。
• 分析自由运动方程，表明由于Hessian奇异，这些方程并非相互独立，导致演化不确定。
• 引入电磁场的最小耦合，并证明Hessian奇异性质保持不变。
• 利用Hessian的非平凡零空间，推导出一个必须满足的单一约束，以保证外部场中运动方程的一致性。
• 以均匀磁场中的运动为例，说明对称性如何在约束存在下仍允许唯一解。
• 构建一个简单模型，表明在任意场中，该约束会阻止确定性演化。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪个相对论性旋转器模型是通过物理自由度Hessian奇异性的要求唯一选定的？
• RQ2 电磁场的最小耦合能否消除Hessian退化引起的运动方程不确定性？
• RQ3 Hessian的零空间在外部场中对初始条件和可接受运动施加约束的作用是什么？
• RQ4 在何种条件下，尽管存在Hessian奇异性的约束，外部场中仍能出现唯一解？
• RQ5 当Hessian奇异时，在任意电磁场中是否可能实现确定性演化？

主要发现

• 通过要求物理自由度的Hessian矩阵必须奇异，唯一选定了基本相对论性旋转器。
• Hessian奇异导致运动方程非独立，引起自由空间中演化不确定。
• 电磁场的最小耦合无法消除Hessian奇异，因此不确定性依然存在。
• Hessian零空间导出单一约束，限制了外部场中初始条件和可接受运动。
• 在均匀磁场中，对称性允许唯一解，尽管存在约束，展示了确定性演化的一个特例。
• 在任意场中，该约束阻止了确定性演化，通过一个简单模型得到说明。