[论文解读] Fundamental solutions of homogeneous fully nonlinear elliptic equations

Scott N. Armstrong, Boyan Sirakov+1 more|ArXiv.org|Oct 21, 2009

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 18被引用 8

一句话总结

该论文证明了在 ℝⁿ\{0} 上，对于一致椭圆、正齐次的完全非线性椭圆方程 F(D²u) = 0，存在两个基本解 Φ 和 Φ̃。论文证明了在孤立奇点附近单侧有界的解会渐近地表现得像这些基本解，并推导出一个 Liouville 型定理，表明这些是 ℝⁿ\{0} 上全局单侧有界的唯一解。解的标度指数 α* 和 α̃* 与关联的两玩家随机微分博弈中随机过程的常返性或瞬态性相关联。

ABSTRACT

We prove the existence of two fundamental solutions $Φ$ and $ ilde Φ$ of the PDE \[ F(D^2Φ) = 0 \quad {in} \mathbb{R}^n \setminus \{0 \} \] for any positively homogeneous, uniformly elliptic operator $F$. Corresponding to $F$ are two unique scaling exponents $α^*, ildeα^* > -1$ which describe the homogeneity of $Φ$ and $ ilde Φ$. We give a sharp characterization of the isolated singularities and the behavior at infinity of a solution of the equation $F(D^2u) = 0$, which is bounded on one side. A Liouville-type result demonstrates that the two fundamental solutions are the unique nontrivial solutions of $F(D^2u) = 0$ in $\mathbb{R}^n \setminus \{0 \}$ which are bounded on one side in a neighborhood of the origin as well as at infinity. Finally, we show that the sign of each scaling exponent is related to the recurrence or transience of a stochastic process for a two-player differential game.

研究动机与目标

• 将 Bôcher 关于调和函数的古典结果推广到完全非线性、一致椭圆、正齐次的方程。
• 为这类方程构造两个基本解 Φ 和 Φ̃，其具有不同的标度指数 α* 和 α̃*。
• 刻画在孤立奇点附近及无穷远处单侧有界解的行为。
• 建立一个 Liouville 型定理，识别出 Φ 和 Φ̃ 是 ℝⁿ\{0} 上全局单侧有界的唯一非平凡解。
• 将标度指数的符号与关联两玩家随机微分博弈中出现的随机过程的常返性或瞬态性联系起来。

提出的方法

• 使用粘性解理论和齐次性性质，在 ℝⁿ\{0} 上构造方程 F(D²u) = 0 的基本解 Φ 和 Φ̃。
• 通过齐次性定义标度指数 α* 和 α̃* > -1：Φ(tx) = t^α* Φ(x)，其中 α* 由算子 F 确定。
• 利用比较原理和障碍方法，估计两玩家随机微分博弈的值函数 v⁺_{r,R} 和 v⁻_{r,R}。
• 通过极限关系 lim_{r→0} P(τ_{x,γ,b,r} < ∞) ∼ r^{α*}，将首次击中概率的渐近行为与标度指数联系起来。
• 通过考察击中概率的极限行为分析扩散过程的常返性或瞬态性，判断 α* 的符号。
• 证明：若 α* > 0，则过程为瞬态（逃逸至无穷远）；若 α* < 0，则过程为常返（几乎必然返回原点）；若 α* = 0，则过程具有常返行为，但几乎必然不会击中原点。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 ℝⁿ\{0} 上，对于一致椭圆、正齐次的完全非线性方程 F(D²u) = 0，是否存在基本解？
• RQ2 在孤立奇点附近及无穷远处，单侧有界的解如何表现？
• RQ3 在 ℝⁿ\{0} 上，对全局单侧有界的解是否存在精确的 Liouville 型刻画？
• RQ4 标度指数 α* 和 α̃* 如何与关联两玩家随机微分博弈中随机过程的常返性或瞬态性相关联？
• RQ5 击中概率的渐近行为能否用于确定 α* 的符号，从而推断扩散过程的长期行为？

主要发现

• 对于任意一致椭圆、正齐次的 F，方程 F(D²u) = 0 在 ℝⁿ\{0} 上存在两个基本解 Φ 和 Φ̃，其齐次度分别为 α* 和 α̃* > -1。
• 在孤立奇点附近单侧有界的解，其渐近行为取决于标度指数的符号，表现为类似 Φ 或 Φ̃ 的形式。
• Liouville 定理成立：在 ℝⁿ\{0} 上，唯一在 0 附近和无穷远处均单侧有界的解是 Φ、Φ̃ 和常数的线性组合。
• 若 α* > 0，则 lim_{r→0} sup_γ inf_b P(τ_{x,γ(b),b,r} < ∞) ∼ r^{α*}，表明过程为瞬态。
• 若 α* < 0，则 lim_{R→∞} sup_γ inf_b P(τ_{x,γ(b),b,0} < τ_{x,γ(b),b,R}) ∼ 1 - R^{α*}，表明过程为常返（几乎必然返回原点）。
• 当 α* = 0 时，过程在返回原点邻域无限多次的意义上为常返，但可能以概率 1 避免击中原点。