[论文解读] Fundamentals in Peaceman Model for Well-Block radius For Non-Linear Flows Near Well

Akif Ibragimov, Э.С. Закиров+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2022

Heat and Mass Transfer in Porous Media被引用 4

一句话总结

本文利用严格的数学框架重新诠释了Peaceman井筒块半径公式，通过在井附近将有限差分解与解析径向流解进行‘缝合’，推导出非线性Forchheimer流动的广义井筒块半径。结果表明，该半径依赖于流量和Forchheimer β因子，修正了广泛使用的Dake公式，使D因子在网格和流量上均具有依赖性，从而在非达西流动区域实现更精确的油藏模拟。

ABSTRACT

We consider sewing machinery between finite difference and analytical solutions defined at different scale: far away and near source of the perturbation of the flow. One of the essences of the approach is that coarse problem and boundary value problem in the proxy of the source model two different flows. We are proposing method to glue solution via total fluxes, which is predefined on coarse grid. It is important to mention that the coarse solution "does not see" boundary. From industrial point of view our report provide mathematical tool for analytical interpretation of simulated data for fluid flow around a well in a porous medium. It can be considered as a mathematical "shirt" on famous Peaceman well-block radius formula for linear (Darcy) radial flow but can be applied in much more general scenario. As an important case, we consider nonlinear Forchheimer flow. In the article we rigorously obtained well-block radius, explicitly depending on $β-$Forchheimer factor and total rate of the flow on the well, and provide generalization of the Dake Formula and evaluation of the $D-$factor.

研究动机与目标

• 通过数学方法重新表述Peaceman井筒块半径概念，适用于非线性流动，特别是Forchheimer型流动，以提升油藏模拟的准确性。
• 解决将基于经典达西定律的Peaceman半径应用于非线性流动区域时存在的不一致性，其中D因子传统上被假设为常数。
• 建立一种严格的‘缝合’方法，将有限差分物质平衡方程与嵌入环形区域中的解析径向流解相耦合。
• 推导出显式依赖于Forchheimer β因子和流量的新型井筒块半径公式，适用于线性和非线性流动区域。
• 证明油藏模拟器中使用的D因子并非普适，而是依赖于网格尺寸Δ和流量q，尤其在非达西条件下更为显著。

提出的方法

• 采用双区域环形模型：内区为非线性Forchheimer流动，外区为粗网格线性物质平衡，通过通量连续性连接。
• 应用格林函数方法表示内环形区域的解析解，实现在界面处的精确通量匹配。
• 通过将解析解的总通量与有限差分格式的通量相等，推导出井筒块半径R₀，确保与粗网格物质平衡的一致性。
• 引入修正的Peaceman适定性条件，以确保在非线性流动背景下解的数学一致性与唯一性。
• 求解满足Forchheimer定律的非线性径向流动方程：−∂p/∂r = αv + βv²，并从井筒到网格块外边界积分。
• 用包含β、q和网格尺寸Δ依赖项的修正项替代标准达西基R₀，该修正项源自界面处通量的匹配。

Figure 1 . Five-spot grid of size $\Delta$ with the well at center, and auxiliary $U(0,R_{w},R_{1})$ and $U(0,R_{w},R_{0})$

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在保持与有限差分物质平衡一致的前提下，将经典Peaceman井筒块半径推广至非线性Forchheimer流动？
• RQ2 在非线性流动区域，井筒块半径R₀如何依赖于Forchheimer β因子和流量q？
• RQ3 当存在非达西流动时，油藏模拟器中正确的D因子形式是什么？其是否独立于网格尺寸Δ？
• RQ4 在Forchheimer流动模拟中使用基于达西定律的R₀是否会导致系统性误差？若存在，其发生条件为何？
• RQ5 能否建立统一的数学框架，实现对井附近多尺度流动问题中有限差分解与解析解的‘缝合’？

主要发现

• Forchheimer流动的井筒块半径不再为常数，而是显式依赖于流量q和Forchheimer β因子，与经典Peaceman公式不同。
• 推导出的R₀公式中包含与q²成正比的修正项，当Δ减小或q增大时该修正项变得显著，从而否定了D因子恒定的假设。
• 正确的压力降表达式为p₀ − p_w = (α/2π)q ln(R₀_Darcy / R_w) + (βq² / 4π²)(1/R_w − 1/Δ)，明确显示出对网格尺寸Δ的依赖。
• 传统模拟器中使用的D因子并非普适，而必须根据Δ和q进行调整，因此在非达西流动中具有网格和流量依赖性。
• 经典Peaceman半径R₀_Darcy = Δ·e^(-π/2)仅在Δ较大或q较小时为良好近似；对于细网格或高流量情况，修正项显著。
• 该方法为油藏模拟器中模拟压力的物理解释提供了数学上严谨的基础，通过物理上一致的通量匹配原理，将网格块压力p₀与实际井筒压力p_w相联系。

Figure 2 . Five-point stencil for the finite difference scheme, and domain of the flow with source at $0$