[论文解读] Furstenberg transformations on irrational rotation algebras

Hiroyuki Osaka, N. Christopher Phillips|ArXiv.org|Sep 9, 2004

Advanced Operator Algebra Research参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文引入了在无理旋转代数上的非交换 Furstenberg 变换，并证明当 1、θ 和 γ 在 ℚ 上线性无关时，这些自同态具有迹 Rokhlin 性质。这意味着相应的半直积代数具有稳定秩一、实秩零，且投影上的序关系由迹决定——从而解决了这些代数的 Blackadar 第二个基本可比较性问题。该结果进一步推广到五维幂零李群的 C*-代数的某些单商代数，表明它们也具有这些结构性质。

ABSTRACT

We introduce a general class of automorphisms of rotation algebras, the noncommutative Furstenberg transformations. We prove that fully irrational noncommutative Furstenberg transformations have the tracial Rokhlin property, which is a strong form of outerness. We conclude that crossed products by these automorphisms have stable rank one, real rank zero, and order on projections determined by traces (Blackadar's Second Fundamental Comparability Question). We also prove that several classes of simple quotients of the C*-algebras of discrete subgroups of five dimensional nilpotent Lie groups, considered by Milnes and Walters, are crossed products of simple C*-algebras (C*-algebras of minimal ordinary Furstenberg transformations) by automorphisms which have the tracial Rokhlin property. It follows that these algebras also have stable rank one, real rank zero, and order on projections determined by traces.

研究动机与目标

• 定义并研究无理旋转代数 A_θ 上的非交换 Furstenberg 变换。
• 确立这些自同态具有迹 Rokhlin 性质（一种强外性形式）的条件。
• 证明此类自同态的半直积具有稳定秩一、实秩零，且投影上的序关系由迹决定。
• 将这些结果推广至五维幂零李群的离散子群的 C*-代数的某些单商代数。
• 通过迹 Rokhlin 性质解决一大类 C*-代数的 Blackadar 第二个基本可比较性问题。

提出的方法

• 通过在生成元 u 和 v 上通过缩放和扭转变换作用的自同态 α_θ,γ,d,f 定义旋转代数 A_θ 上的 Furstenberg 变换。
• 利用基于 GNS 构造和在 II₁ 型因子上诱导自同态的非周期性的一个准则，证明当 1、θ、γ 在 ℚ 上线性无关时，α_θ,γ,d,f 具有迹 Rokhlin 性质。
• 利用迹 Rokhlin 性质推导出半直积 C*(ℤ, A_θ, α) 具有稳定秩一、实秩零，且迹决定投影上的序关系。
• 通过证明它们是极小 Furstenberg 变换的简单 C*-代数与具有迹 Rokhlin 性质的自同态的半直积，分析 Milnes 和 Walters 的 C*-代数 A_θ^5,3、A_θ^5,6 和 A_θ^5,3(α,β,γ,δ,ε)。
• 应用迹 Rokhlin 性质准则，证明相关自同态在 GNS 表示下是外的，从而确认该性质。
• 利用已知的具有迹秩零和迹 Rokhlin 性质的 C*-代数结果，得出稳定秩一和实秩零等结构性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，无理旋转代数上的非交换 Furstenberg 变换具有迹 Rokhlin 性质？
• RQ2 当迹 Rokhlin 性质成立时，此类自同态的半直积代数具有何种结构性质？
• RQ3 由五维幂零李群导出的 C*-代数 A_θ^5,3 和 A_θ^5,6 能否被实现为具有迹 Rokhlin 性质的半直积？
• RQ4 五维幂零李群的离散子群的 C*-代数的单商代数是否具有稳定秩一和实秩零？
• RQ5 如 Blackadar 第二个基本可比较性问题所问，这些 C*-代数中的投影序关系是否由迹决定？

主要发现

• 当 1、θ 和 γ 在 ℚ 上线性无关时，A_θ 上的自同态 α_θ,γ,d,f 具有迹 Rokhlin 性质。
• 半直积 C*(ℤ, A_θ, α_θ,γ,d,f) 具有稳定秩一和实秩零。
• 在 C*(ℤ, A_θ, α_θ,γ,d,f) 中，投影上的序关系完全由迹决定。
• C*-代数 A_θ^5,3(α,β,γ,δ,ε) 同构于一个极小 Furstenberg 变换的简单 C*-代数与具有迹 Rokhlin 性质的自同态的半直积。
• C*-代数 A_θ^5,6 同构于一个极小 Furstenberg 变换的简单 C*-代数与具有迹 Rokhlin 性质的自同态的半直积。
• 所有这些代数——A_θ^5,3、A_θ^5,6 和 A_θ^5,3(α,β,γ,δ,ε)——均具有稳定秩一、实秩零、唯一的迹态，且迹决定投影上的序关系。