[论文解读] Further Generalisations of Twisted Gabidulin Codes

Sven Puchinger, Johan Rosenkilde+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2017

Coding theory and cryptography被引用 14

一句话总结

本文引入了一类新的最大秩距离（MRD）码，通过引入额外参数和自同构，推广了扭曲Gabidulin码。与以往的构造不同，这些码不等价于广义Gabidulin码或标准扭曲Gabidulin码，扩展了已知的线性MRD码类别，并由于结构复杂度的增加，在密码学应用中具有潜在优势。

ABSTRACT

We present a new family of maximum rank distance (MRD) codes. The new class contains codes that are neither equivalent to a generalised Gabidulin nor to a twisted Gabidulin code, the only two known general constructions of linear MRD codes.

研究动机与目标

• 构造新的线性最大秩距离（MRD）码，使其不等价于现有的广义Gabidulin码或扭曲Gabidulin码等类别。
• 通过引入额外的自同构和参数，扩展扭曲Gabidulin码的框架，提升结构多样性。
• 研究这些码在秩度量密码学中的潜在应用，特别是提高对结构攻击的抵抗能力。
• 为新码家族提供MRD性质的充分条件，确保达到最优的最小秩距离。

提出的方法

• 构造基于有限域扩张上的斜多项式环，其中包含一个阶整除m的非平凡自同构σ。
• 定义了一类新码为斜多项式环中特定模V_{k,t,η}的求值码，由参数k、t和η参数化。
• 在F_{q^s}的F_q-基上求值，得到长度为s、维度为k的线性秩度量码。
• 利用斜多项式环的代数性质及定义模的结构，推导出MRD性质的充分条件。
• 该方法将扭曲构造从扭曲Reed–Solomon码推广至秩度量设置，通过斜多项式实现。
• 通过模同构和系数约束分析等价性，表明新码无法通过线性变换转化为已知类别。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一类新的线性MRD码，使其不等价于广义Gabidulin码或扭曲Gabidulin码？
• RQ2 参数k、t、η及自同构σ需满足何种条件，才能确保所得码达到最大可能的秩距离？
• RQ3 与标准扭曲Gabidulin码相比，引入高阶扭曲（t > 1）如何影响码的等价类？
• RQ4 在McEliece密码系统背景下，该新构造能否抵抗结构攻击，特别是当t较大时？
• RQ5 新码家族与现有Gabidulin码之间存在何种关系，特别是在子码结构方面？

主要发现

• 新码家族包含不等价于广义Gabidulin码或t=1时的扭曲Gabidulin码的MRD码。
• 当1 < t < s−1且η ≠ 0时，扭曲Gabidulin码ev_α(V_{k,t,η})不等价于任何ev_β(V_{k,1,η'})码，即使η' ≠ 0。
• 该构造通过允许多个扭曲参数和非平凡自同构，推广了先前结果，显著增加了可用MRD码的多样性。
• 这些码不是维度为k+1的Gabidulin码的子码，意味着基于此类子码关系的结构攻击不适用。
• MRD性质的充分条件通过模结构和斜多项式算术的代数方法推导得出。
• 由于其复杂的子码结构，特别是当t较大时，新码在秩度量密码学中具有潜在的更强抗性。