[论文解读] Further progress on Wojda's conjecture

Maciej Cisiński, Andrzej Żak|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2026

graph theory and CDMA systems被引用 0

一句话总结

论文在广泛参数范围内证实了 Wojda 猜想：对于所有 m ≥ 93 且 n ≥ 31m，两个有向图无法打包所需的最小弧数 μ(n, n−m) 等于 2n − floor(n/m)。作者使用概率近打包论证和 refined greedy 引理来建立结果。

ABSTRACT

Two digraphs of order $n$ are said to pack if they can be found as edge-disjoint subgraphs of the complete digraph of order $n$. It is well established that if the sum of the sizes of the two digraphs is at most $2n-2$, then they pack, with this bound being sharp. However, it is sufficient for the size of the smaller digraph to be only slightly below $n$ for the sum of their sizes to significantly exceed this threshold while still guaranteeing the existence of a packing. In 1985, Wojda conjectured that for any $2 \leq m \leq n/2$, if one digraph has size at most $n - m$ and the other has size less than $2n - \lfloor n/m floor$, then the two digraphs pack. It was previously known that this conjecture holds for $m = Ω(\sqrt{n})$. In this paper, we confirm it for $m \geq 93$ and $n \geq 31m$.

研究动机与目标

• 推动有向图的 Wojda 打包问题并确定阻止打包的阈值 μ(n, n−m)。
• 通过证明在一个相当新的区间内（m ≥ 93, n ≥ 31m）将猜想扩展至更多已知情况。
• 开发并应用概率近打包工具以加强打包保证。

提出的方法

• 使用概率方法证明当 |A(D)|·|A(D′)| < (q+1)n(n−1) 时存在 q-近打包。
• 应用引理6 获得近打包；通过分解和贪心引理8 推导出完整打包。
• 将定理7（当总弧数 ≤ 2n−2 时的打包）作为组装打包的骨干。
• 改进对有向森林的贪心打包策略（引理8），确保关键顶点包含在像中。
• 利用命题9 来界定 D′ 的顶点度以便进行迭代打包步骤。
• 基于 D′ 的度数进行分情况分析，并有序打包子结构（树 T_i 与剩余部分 R）。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于满足 Wojda 猜想边界的较大 n 与 m，μ(n, n−m) 的确切值是多少？
• RQ2 在早前已知的 √n 比例以外的更广参数范围内，具体来说 m ≥ 93 且 n ≥ 31m，Wojda 猜想是否可验？
• RQ3 如何将概率近打包与 refined greedy 技巧结合，以从近打包得到完整打包？
• RQ4 有哪些有向图的结构分解有助于将其逐步打包到具有 n 顶点的固定有向图中？

主要发现

• 对于 m ≥ 93 且 n ≥ 31m，μ(n, n−m) = 2n − ⌊n/m⌋。
• 在新的参数区间内，近打包的保证提高了打包的可能性，超出经典的 2n−2 阈值。
• 概率近打包（引理6）与贪心森林打包（引理8）的组合在所述区间内实现了完整打包。
• 基于 D′ 中高度顶点度数的四子情况分析，通过逐步扩展部分打包来实现打包。
• 该工作在 Konarski–Żak、Wojda 等先验结果基础上拓展，覆盖了更广的 m/n 比例。
• 定理7（当总弧数 ≤ 2n−2 时的打包）仍是从近打包组装出完整打包的重要工具。