[论文解读] Further remarks on local discriminants

Chandan Singh Dalawat|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用 13

一句话总结

本文为包含本原 $p$ 次单位根的局部域 $K$ 的初等阿贝尔 $p$-扩张构建了一个显式的库默尔理论框架，用于计算分歧过滤和判别式，并建立了局部函数域的类似 Artin-Schreier 理论。关键贡献在于库默尔配对与上层分歧过滤之间的正交性关系，使得无需借助类域论即可直接计算判别式和分歧断裂点。

ABSTRACT

Using Kummer theory for a finite extension K of \Qp(ζ)(where p is a prime number and ζa primitive p-th root of~1), we compute the ramification filtration and the discriminant of an arbitrary elementary abelian p-extension of K. We also develop the analogous Artin-Schreier theory for finite extensions of \Fp((π)) and derive similar results for their elementary abelian p-extensions.

研究动机与目标

• 计算有限扩张 $K$ 上任意初等阿贝尔 $p$-扩张的分歧过滤与判别式，其中 $K$ 是 $\mathbb{Q}_p(\zeta)$ 的有限扩张，$\zeta$ 为本原 $p$ 次单位根。
• 为局部函数域 $\mathbb{F}_p((\pi))$ 建立类似的 Artin-Schreier 理论，并推导其初等阿贝尔 $p$-扩张的类似结果。
• 建立库默尔配对与上层分歧过滤之间的正交性关系，从而在不依赖类域论的前提下实现不变量的显式计算。
• 确定此类扩张可能的分歧断裂序列、次数与总数，并通过微分理想计算判别式赋值。

提出的方法

• 利用 $K/\mathbb{Q}_p(\zeta)$ 的库默尔理论，分析由单位群滤过诱导的 $\overline{K^\times} = K^\times / K^{\times p}$ 上的滤过 $\bar{U}_n$。
• 应用正交性关系 $ (G^u)^\perp = \bar{U}_{pe_1 - \lceil u \rceil + 1} $，其中 $G = \mathrm{Gal}(M/K)$，$M$ 为 $K$ 的最大初等阿贝尔 $p$-扩张。
• 推导循环次数为 $p$ 的扩张 $K(\sqrt[p]{D})$ 的分歧断裂点为 $pe_1 - m$，其中 $D \subset \bar{U}_m \setminus \bar{U}_{m+1}$。
• 对于 Artin-Schreier 扩张，使用与加法群 $K$ 的配对及滤过 $\wp^{-1}(\mathfrak{p}^m)$，建立对偶正交性关系。
• 通过微分理想计算判别式赋值：$v_K(d_{L|K}) = p \cdot v_L(\mathfrak{D}_{L|K})$，其中 $v_L(\mathfrak{D}_{L|K}) = (1 + b^{(c(m))})q^{c(m)} - (1 + b_{(c(m))})$。
• 使用范数群刻画：$N_{L|K}(L^\times) = U_{m+1}K^{\times p}$，其中 $L = K(\wp^{-1}(\mathfrak{p}^{-m}))$，其与库默尔情形对偶，后者中 $N_{L|K}(L^\times) = U_{pe_1 - m + 1}K^{\times p}$，对应 $L = K(\sqrt[p]{U_m})$。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于包含本原 $p$-次单位根的局部域 $K$ 的任意初等阿贝尔 $p$-扩张，其分歧过滤为何？
• RQ2 如何在不使用类域论或 Führerdiskriminantenproduktformel 的前提下，显式计算此类扩张的判别式？
• RQ3 此类扩张中可能的分歧断裂序列有哪些？其次数与总数分别为多少？
• RQ4 局部函数域 $\mathbb{F}_p((\pi))$ 的 Artin-Schreier 理论如何与局部数域的库默尔理论相对应？
• RQ5 在 $p$-主情形下，伽罗瓦群的上层分歧过滤与 $K^\times / K^{\times p}$（或 $K/\wp(K)$）上的滤过之间的确切正交性关系为何？

主要发现

• 对于 $K$ 的最大初等阿贝尔 $p$-扩张 $M$，$\mathrm{Gal}(M|K)$ 的上层分歧断裂点精确位于 $-1$，位于 $[1, pe_1[$ 内的 $e$ 个与 $p$ 互素的整数，以及 $pe_1$ 处。
• 对于 $L = K(\sqrt[p]{D})$，其中 $D \subset \bar{U}_m \setminus \bar{U}_{m+1}$，唯一的分歧断裂点为 $pe_1 - m$，当且仅当 $m = 0$ 时该值不与 $p$ 互素。
• 扩展 $L|K$ 的判别式赋值为 $v_K(d_{L|K}) = p \cdot v_L(\mathfrak{D}_{L|K})$，其中 $v_L(\mathfrak{D}_{L|K}) = (1 + b^{(c(m))})q^{c(m)} - (1 + b_{(c(m))})$，$q = p^f$，且 $b^{(i)}$ 为 $[1,m]$ 内第 $i$ 个与 $p$ 互素的整数。
• 对于 Artin-Schreier 扩张 $L = K(\wp^{-1}(\mathfrak{p}^{-m}))$，上层分歧断裂点位于 $-1$ 及 $[1,m]$ 内的 $c(m)$ 个整数 $b^{(1)} < \cdots < b^{(c(m))}$，这些整数与 $p$ 互素。
• 扩展 $L|K$ 的范数群满足 $N_{L|K}(L^\times) = U_{m+1}K^{\times p}$，其与库默尔情形对偶：后者中 $N_{L|K}(L^\times) = U_{pe_1 - m + 1}K^{\times p}$，对应 $L = K(\sqrt[p]{U_m})$。
• 正交性关系表明分歧断裂点为整数，且无需使用 Hasse-Arf 定理，从而可完全从 $\overline{K^\times}$ 上的滤过重建分歧过滤。