[论文解读] Further Results of the Cryptographic Properties on the Butterfly Structure.

Shihui Fu, Xiutao Feng|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2016

Coding theory and cryptography参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文证明了指数为 $ e = 2^i + 1 $ 的蝴蝶结构的非线性最优性，解决了密码学中的一个开放问题。此外，本文还确立了具有平凡系数的蝴蝶结构为双射，并达到最优非线性，证实了其作为密码学原 primitive 的适用性。

ABSTRACT

Recently, a new structure called butterfly introduced by Perrin et at. is attractive for that it has very good cryptographic properties: the differential uniformity is at most equal to 4 and algebraic degree is also very high when exponent $e=3$. It is conjecture that the nonlinearity is also optimal for every odd $k$, which was proposed as a open problem. In this paper, we further study the butterfly structures and show that these structure with exponent $e=2^i+1$ have also very good cryptographic properties. More importantly, we prove in theory the nonlinearity is optimal for every odd $k$, which completely solve the open problem. Finally, we study the butter structures with trivial coefficient and show these butterflies have also optimal nonlinearity. Furthermore, we show that the closed butterflies with trivial coefficient are bijective as well, which also can be used to serve as a cryptographic primitive.

研究动机与目标

• 解决关于奇数 $ k $ 的蝴蝶结构非线性最优性的开放问题。
• 研究指数 $ e = 2^i + 1 $ 的蝴蝶结构的密码学特性，特别是非线性和差分均匀性。
• 分析具有平凡系数的蝴蝶结构，确定其双射性和非线性特性。
• 基于其理论特性，确认这些结构作为密码学原 primitive 的适用性。

提出的方法

• 对指数 $ e = 2^i + 1 $ 的蝴蝶结构的代数和差分特性进行理论分析，重点关注非线性和差分均匀性。
• 利用代数和组合技术分析沃尔什谱，证明所有奇数 $ k $ 下非线性最优性。
• 研究具有平凡系数的蝴蝶结构，通过结构和代数分析证明其为双射。
• 推导具有平凡系数的闭式蝴蝶结构实现非线性最优性的条件。
• 利用有限域性质和对称结构分析，确立其密码学强度。
• 应用已知的弯函数和向量布尔函数结果，验证非线性界。

实验结果

研究问题

• RQ1 指数为 $ e = 2^i + 1 $ 的蝴蝶结构在所有奇数 $ k $ 下的非线性是否最优？
• RQ2 具有平凡系数的蝴蝶结构是否保持最优非线性和双射性？
• RQ3 能否在理论上证明蝴蝶结构的非线性最优性，从而解决开放问题？
• RQ4 使用具有平凡系数的蝴蝶结构作为原 primitive 的密码学影响是什么？

主要发现

• 证明了指数为 $ e = 2^i + 1 $ 的蝴蝶结构在所有奇数 $ k $ 下的非线性为最优，彻底解决了开放问题。
• 表明具有平凡系数的蝴蝶结构为双射，确认其在结构上适用于密码学应用。
• 当系数为平凡时，这些结构达到最优非线性，增强了其对线性密码分析的抵抗力。
• 指数为 $ e = 2^i + 1 $ 的蝴蝶结构的差分均匀性最多为 4，保持了对差分攻击的强抵抗力。
• 最优非线性、低差分均匀性和双射性的结合，证实了这些结构的密码学鲁棒性。
• 理论结果验证了具有平凡系数的蝴蝶结构可作为安全的密码学原 primitive 使用。