[论文解读] Further results on differentially 4-uniform permutations over $\F_{2^{2m}}$

Zhengbang Zha, Lei Hu+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 23被引用 4

一句话总结

本论文通过在域 $\mathbb{F}_{2^{2m}}$ 的精心选择的子集 $S$ 上修改逆函数，提出了在 $\mathbb{F}_{2^{2m}}$ 上新的差分 4-均匀置换的构造方法。所提出的置换具有高非线性度和代数次数，显式构造被证明与已知函数 CCZ 不等价，为密码学 S 盒设计提供了改进的选项。

ABSTRACT

In this paper, we present several new constructions of differentially 4-uniform permutations over $\F_{2^{2m}}$ by modifying the values of the inverse function on some subsets of $\F_{2^{2m}}$. The resulted differentially 4-uniform permutations have high nonlinearities and algebraic degrees, which provide more choices for the design of cryptographic substitution boxes.

研究动机与目标

• 在 $\mathbb{F}_{2^{2m}}$ 上构造具有强密码学性质的新差分 4-均匀置换。
• 通过在特定子集 $S \subset \mathbb{F}_{2^{2m}}$ 上修改逆函数，改进现有构造。
• 实现高非线性度和代数次数，接近理论界限。
• 通过证明与先前已知函数（包括逆函数和以往构造）的 CCZ 不等价性，验证其新颖性。
• 为 S 盒设计提供一种系统化方法，以生成具有理想密码学特性的置换。

提出的方法

• 在子集 $S \subset \mathbb{F}_{2^{2m}}$ 上修改逆函数 $x^{-1}$ 的取值，以构造新的置换。
• 使用由迹条件定义的子集 $S$，例如 $\mathrm{Tr}(x) = 1$ 或 $\mathrm{Tr}(x) = \mathrm{Tr}(x/(1+x)) = 1$。
• 通过 $f(x) = x^{-1} + \delta_S(x)$ 构造置换，其中 $\delta_S(x)$ 是在 $S$ 上有支撑的修正函数。
• 通过控制方程 $f(x+a) + f(x) = b$ 的解的数量，确保差分均匀度保持为 4。
• 利用开关法和有限域的代数性质，维持高非线性度和代数次数。
• 通过 Magma 计算对 $n=12$ 的差分谱和非线性度分析，验证 CCZ 不等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过在 $\mathbb{F}_{2^{2m}}$ 的特定子集上修改逆函数，构造出新的差分 4-均匀置换？
• RQ2 这些构造是否能产生比现有构造更高的非线性度和代数次数？
• RQ3 新构造的置换是否与逆函数及先前构造的函数 CCZ 不等价？
• RQ4 修改集合 $S$ 的大小和结构如何影响非线性度和差分谱？
• RQ5 所提出的方法能否生成大量 CCZ 不等价的置换，以满足实际 S 盒设计的需求？

主要发现

• 定理 3–7 提出了在 $\mathbb{F}_{2^{10}}$ 和 $\mathbb{F}_{2^{12}}$ 上的新差分 4-均匀置换，其非线性度分别达到 1980 和 1978。
• 当 $n=12$ 时，定理 5 中函数的平均非线性度为 1910.264，略低于定理 2 的 1911.106，表明 $|S|$ 增大时存在权衡关系。
• 定理 5 中 $S = S_1 \cup (\mathbb{F}_{16} \setminus \mathbb{F}_4)$ 的构造可产生 1036 种可能的 $S_1$ 和 $2^{518}$ 种 $S$，从而支持大量不同的置换。
• 例 1 展示了定理 5 中一个非线性度为 1958 的函数，对于相同的 $|S_1|=42$，略高于定理 2 的 1956。
• 例 3 表明，即使 $|S|$ 大于定理 2 中的值，非线性度仍可更高（1978 对比 1980），显示出非单调行为。
• 新置换的差分谱，如 $n=10$ 时的 $\{0^{8534127}, 2^{8091426}, 4^{147567}\}$，确认了差分均匀度为 4，并将其与已知函数区分开来。