[论文解读] Further results on Hilbert's Tenth Problem

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2017

Polynomial and algebraic computation参考文献 25被引用 5

一句话总结

本文证明了在整数上，11个变量的多项式方程的希尔伯特第十问题具有不可判定性，即不存在任何算法来判断此类方程是否存在整数解。此外，本文进一步证明了当所有变量被限制为完全平方数时，17个变量的方程的可解性也无法通过算法判定，并构造出一个20个变量的多项式，其在整数平方上的非负取值恰好等于所有素数的集合。

ABSTRACT

Hilbert's Tenth Problem (HTP) asks for an algorithm to test whether an arbitrary polynomial Diophantine equation with integer coefficients has solutions over the ring $\mathbb Z$ of the integers. This was finally solved by Matiyasevich negatively in 1970. In this paper we obtain some further results on HTP over $\mathbb Z$. We prove that there is no algorithm to determine for any $P(z_1,\ldots,z_9)\in\mathbb Z[z_1,\ldots,z_9]$ whether the equation $P(z_1,\ldots,z_9)=0$ has integral solutions with $z_9\ge0$. Consequently, there is no algorithm to test whether an arbitrary polynomial Diophantine equation $P(z_1,\ldots,z_{11})=0$ (with integer coefficients) in 11 unknowns has integral solutions, which provides the best record on the original HTP over $\mathbb Z$. We also prove that there is no algorithm to test for any $P(z_1,\ldots,z_{17})\in\mathbb Z[z_1,\ldots,z_{17}]$ whether $P(z_1^2,\ldots,z_{17}^2)=0$ has integral solutions, and that there is a polynomial $Q(z_1,\ldots,z_{20})\in\mathbb Z[z_1,\ldots,z_{20}]$ such that $$\{Q(z_1^2,\ldots,z_{20}^2):\ z_1,\ldots,z_{20}\in\mathbb Z\}\cap\{0,1,2,\ldots\}$$ coincides with the set of all primes.

研究动机与目标

• 确定在整数上希尔伯特第十问题不可判定所需的最少变量数。
• 研究当变量被限制为非负数或平方数时，丢番图方程的可判定性。
• 构造一个多项式，使其在整数平方上的取值恰好为素数集合。
• 扩展对递归可枚举集合（特别是非递归的）的丢番图表示的理解。

提出的方法

• 利用马蒂亚谢维奇定理：每个递归可枚举集合都是丢番图的，通过指数丢番图表示来编码非递归的递归可枚举集合。
• 应用普特南技巧：对于任意多项式 $ P(x) $，集合 $ \{x \in \mathbb{N} : P(x) = 0\} $ 等于 $ \mathbb{N} \cap \{(x+1)(1 - P(x)^2) - 1 : x \in \mathbb{N}\} $，从而实现解集的转换。
• 利用拉格朗日四平方定理及广义正多边形数定理（如八边形数、三角形数和五边形数）对变量进行重参数化，以减少解空间的约束。
• 构造了一个20个变量的多项式 $ \hat{P}(z_1, \dots, z_{20}) $，使得其在整数平方 $ z_i^2 $ 上的非负取值恰好为素数。
• 通过丢番图表示非负数和平方数变量，将不可判定的丢番图方程的变量数减少。
• 结合9个未知数的结果，通过变量代换和数论恒等式，证明了在 $ z_9 \geq 0 $ 条件下11个变量方程的不可判定性，以及在所有变量均为平方数时17个变量方程的不可判定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在整数上，是否存在一个不可判定的丢番图方程所需的最少变量数？该界能否进一步改进？
• RQ2 即使其中一个变量被约束为非负数，判断11个变量的丢番图方程是否存在整数解是否仍为不可判定？
• RQ3 当所有变量被限制为完全平方数时，希尔伯特第十问题的不可判定性是否仍然成立？
• RQ4 是否存在一个有限多个变量的多项式，其在整数平方上的取值恰好为素数集合？

主要发现

• 不存在任何算法来判断方程 $ P(z_1, \dots, z_9) = 0 $ 是否存在满足 $ z_9 \geq 0 $ 的整数解，这意味着希尔伯特第十问题在11个变量下是不可判定的。
• 不存在任何算法来判断 $ P(z_1^2, \dots, z_{17}^2) = 0 $ 是否存在整数解，表明即使所有变量均为完全平方数，问题仍为不可判定。
• 存在一个20个变量的多项式 $ \hat{P}(z_1, \dots, z_{20}) \in \mathbb{Z}[z_1, \dots, z_{20}] $，使得集合 $ \{ \hat{P}(z_1^2, \dots, z_{20}^2) : z_1, \dots, z_{20} \in \mathbb{Z} \} \cap \{0,1,2,\dots\} $ 恰好等于素数集合。
• 在变量被限制为平方数的条件下，素数集合通过一个20个变量的多项式在整数环上是丢番图的。
• 本文证明了9个未知数的结果可被推广，表明当一个变量为非负数时，11个变量的方程也具有不可判定性，从而改进了已知的不可判定性所需变量数的下界。
• 该构造使用了普特南技巧和数论恒等式（如四平方和、广义八边形数）将非负数和平方值编码进丢番图方程中。