[论文解读] Further results on some classes of permutation polynomials over finite fields

Xiaogang Liu|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2019

Coding theory and cryptography参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文通过修改系数、指数和域扩张，推广了近期关于有限域上置换多项式的研究，扩展了现有类别并构造了新类别。利用AGW准则和迹函数技术，证明了在显式代数条件（包括参数的范数和迹约束）下，特定的多变量三项式和单项式在 $ﷇckslashmathbb{F}_{2^{3m}}$ 上是置换多项式。

ABSTRACT

Let $\mathbb{F}_q$ denote the finite fields with $q$ elements. The permutation behavior of several classes of infinite families of permutation polynomials over finite fields have been studied in recent years. In this paper, we continue with their studies, and get some further results about the permutation properties of the permutation polynomials. Also, some new classes of permutation polynomials are constructed. For these, we alter the coefficients, exponents or the underlying fields, etc.

研究动机与目标

• 推广有限域上已知的置换多项式类别，特别是形如 $f(x) = (x^{q^k} + x + \theta)^s + cx$ 的多项式。
• 通过改变系数、指数或底层有限域扩张，构造新的置换多项式类别。
• 提供多变量三项式和单项式在 $ﷇckslashmathbb{F}_{2^{3m}}$ 上为置换多项式的充分条件。
• 应用AGW准则和基于迹函数的方法，证明在新参数范围内多项式的置换行为。
• 通过放宽参数 $δ$ 和 $c$ 的约束，并推广到更高次域扩张，推广[22]和[11]的结果。

提出的方法

• 应用AGW准则（引理1和引理2），将涉及 $x^{q^k} + x + \theta$ 和 $x^{q^k} - x + \theta$ 的多项式的置换行为进行转化。
• 使用引理3（基于最大公因数和乘法群结构），将 $ﷇckslashmathbb{F}_{q^n}$ 上的置换测试简化为在 $d$ 次单位根子群 $μ_d$ 上的测试。
• 使用引理4分析 $ﷇckslashmathbb{F}_{2^{2m}}$ 上二次方程的解，特别是单位圆上的解，以验证置换行为的条件。
• 引入基于范数的条件 $1 + N(b)(u^{q^2} + u^q + u + 1) + N(a) \neq 0$（引理7），以确保线性化多项式有唯一根。
• 在代数简化不足的情况下，应用符号计算和结式方法验证置换性质。
• 使用Magma软件验证在给定条件下特定置换多项式的例子，包括 $a^{73} \neq 1$ 和 $a,b$ 的范数条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $c \in \ufdbackslashmathbb{F}_{2^m}^*$ 时，多项式 $f(x) = (x^{2^m} + x + \theta)^{2^{2m}+1} + cx$ 在什么条件下在 $ﷇckslashmathbb{F}_{2^{3m}}$ 上是置换多项式？
• RQ2 如何推广[22]中的条件，以允许任意 $δ \in \ufdbackslashmathbb{F}_{q^n}$ 同时保持置换行为？
• RQ3 对系数和指数进行何种修改，可得到 $ﷇckslashmathbb{F}_{2^{3m}}$ 上新的置换多项式类别？
• RQ4 在什么条件下，多项式 $f(x) = x^r (x^{2^{2m}} + b x^{2^m} + a x + \delta)^{s(2^{2m}+2^m+1)}$ 在 $ﷇckslashmathbb{F}_{2^{3m}}$ 上是置换多项式？
• RQ5 范数和迹条件在确保 $ﷇckslashmathbb{F}_{2^{3m}}$ 上线性化多项式有唯一根方面起什么作用，这与置换多项式构造有何关联？

主要发现

• 对于所有 $\theta \in \ufdbackslashmathbb{F}_{2^{3m}}$ 和 $c \in \ufdbackslashmathbb{F}_{2^m}^*$，多项式 $f(x) = (x^{2^m} + x + \theta)^{2^{2m}+1} + cx$ 是 $ﷇckslashmathbb{F}_{2^{3m}}$ 上的置换多项式，推广了[22]中的结果。
• 对于 $f(x) = x^r (x^{2^{2m}} + b x^{2^m} + a x + \delta)^{s(2^{2m}+2^m+1)}$，当 $\gcd(r, 2^{3m}-1) = 1$，$a^{2^{2m}+2^m+1} + 1 \neq 0$，且 $\left(\frac{a^{2^{2m}}b^{2^m} + a^{2^{2m}+2^m}b + b^{2^{2m}}}{a^{2^{2m}+2^m+1}+1}\right)^{2^{2m}+2^m+1} \neq 1$ 时，该多项式是 $ﷇckslashmathbb{F}_{2^{3m}}$ 上的置换多项式。
• 当 $a^{2^{2m}+2^m+1} + 1 = 0$ 时，若 $a^{2^{2m}}b^{2^m} + a^{2^{2m}+2^m}b + b^{2^{2m}} \neq 0$，且 $r$ 满足 $\gcd(r, 2^{3m}-1) = 1$，则该多项式是 $ﷇckslashmathbb{F}_{2^{3m}}$ 上的置换多项式。
• 线性化多项式 $L(x) = a x + b x^{2^m} + x^{2^{2m}}$ 在 $ﷇckslashmathbb{F}_{2^{3m}}$ 中恰好有一个根，当且仅当 $1 + N(b)(u^{q^2} + u^q + u + 1) + N(a) \neq 0$，其中 $u = a^{2^m}/b^{2^m+1}$。
• 例7通过Magma验证，当 $a^{73} \neq 1$ 且 $\left(\frac{a^{64} + a^{72} + 1}{a^{73}}\right)^{73} \neq 1$ 时，$f(x) = x^4 (x^{56} + a x^7 + 1)^{219}$ 是 $ﷇckslashmathbb{F}_{2^9}$ 上的置换多项式。
• 例8验证了当 $a = \omega^{21}, \omega^{42}$ 时，$f(x) = x^6 (x^{48} + x^{12} + a x)^{63}$ 是 $ﷇckslashmathbb{F}_{64}$ 上的置换多项式，其中 $\omega$ 是 $ﷇckslashmathbb{F}_{64}$ 的本原元。