[论文解读] Further results on the 2-adic complexity of a class of balanced generalized cyclotomic sequences

Chun'e Zhao, Yuhua Sun+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2021

Coding theory and cryptography参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文建立了周期为 $pq$ 的一类平衡 Whiteman 广义二次剩余序列的 2-adic 复杂度的非平凡下界，表明其至少为 $pq - p - q - 1$，该值超过周期的一半，且在合适参数下达到最大值。该方法通过计算由序列导出的循环矩阵的行列式，并分析其与 $2^N - 1$ 的最大公因数，证明其对有理逼近算法（RAA）具有抗性。

ABSTRACT

In this paper, the 2-adic complexity of a class of balanced Whiteman generalized cyclotomic sequences of period $pq$ is considered. Through calculating the determinant of the circulant matrix constructed by one of these sequences, we derive a lower bound on the 2-adic complexity of the corresponding sequence, which further expands our previous work (Zhao C, Sun Y and Yan T. Study on 2-adic complexity of a class of balanced generalized cyclotomic sequences. Journal of Cryptologic Research,6(4):455-462, 2019). The result shows that the 2-adic complexity of this class of sequences is large enough to resist the attack of the rational approximation algorithm(RAA) for feedback with carry shift registers(FCSRs), i.e., it is in fact lower bounded by $pq-p-q-1$, which is far larger than one half of the period of the sequences. Particularly, the 2-adic complexity is maximal if suitable parameters are chosen.

研究动机与目标

• 分析一类具有高线性复杂度的平衡 Whiteman 广义二次剩余序列的 2-adic 复杂度。
• 确定这些序列在用于破解低 2-adic 复杂度序列的有理逼近算法（RAA）下是否仍保持安全性。
• 通过循环矩阵行列式分析，扩展先前关于 2-adic 复杂度的研究，提供更紧致的下界。
• 研究 2-adic 复杂度达到其最大可能值的条件。

提出的方法

• 从周期为 $N = pq$ 的二元序列构造一个循环矩阵 $A$。
• 计算 $A$ 的行列式，记为 $\mathrm{det}(A)$，作为评估 2-adic 复杂度的关键组成部分。
• 分析 $\gcd(\mathrm{det}(A), 2^N - 1)$，利用公式 $\varphi_2(s) = \lfloor \log_2(n+1) \rfloor$ 来界定 2-adic 复杂度，其中 $n$ 是 $S(2)/(2^N - 1)$ 化为最简分数后的分母。
• 利用模 $p$ 和 $q$ 的高斯周期及分圆类的性质，推导 $\mathrm{det}(A)$ 及其与 $2^N - 1$ 的最大公因数的代数表达式。
• 应用数论技术，包括乘法阶 $\mathrm{Ord}_r(2)$ 和 $2^N - 1$ 的素因数分解，评估所有 $2^N - 1$ 的素因子 $r$ 上的最大公因数。
• 证明在合适参数条件下 $\gcd(\mathrm{det}(A), 2^N - 1) = 1$，从而得出最大 2-adic 复杂度 $\varphi_2(s) = N$。

实验结果

研究问题

• RQ1 周期为 $pq$ 的平衡 Whiteman 广义二次剩余序列的 2-adic 复杂度是多少？
• RQ2 2-adic 复杂度能否被一个超过序列周期一半的值所下界界定，从而确保对 RAA 攻击的抗性？
• RQ3 在何种条件下，这些序列的 2-adic 复杂度达到最大值？
• RQ4 从序列构造的循环矩阵的行列式如何与其实 2-adic 复杂度相关？

主要发现

• 所研究的平衡 Whiteman 广义二次剩余序列类的 2-adic 复杂度下界为 $pq - p - q - 1$，显著大于周期 $N = pq$ 的一半。
• 对于特定参数选择，如 $p \equiv 1 \pmod{4}$，$q \equiv 3 \pmod{4}$，且 $q - p = 2$，2-adic 复杂度达到其最大可能值 $\varphi_2(s) = N$。
• 在合适条件下，由序列导出的循环矩阵的行列式满足 $\gcd(\mathrm{det}(A), 2^N - 1) = 1$，意味着达到最大 2-adic 复杂度。
• 通过 Mathematica 和 MATLAB 的数值验证表明，在所有测试案例 $(p,q) = (5,3), (5,7), (5,11), (13,11), (17,11), \dots$ 中，精确的 2-adic 复杂度均等于上界 $N$，表明最大性在所有情况下均成立。
• 结果证实，这些序列对有理逼近算法（RAA）具有安全性，因为其 2-adic 复杂度超过安全阈值 $N/2$。
• 作者推测，对于所有有效参数对，2-adic 复杂度均为最大值，尽管一般性证明仍待解决。