[论文解读] Further results on the inducibility of $d$-ary trees

Audace A. V. Dossou-Olory, Stephan Wagner|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2018

Graph theory and applications参考文献 15被引用 6

一句话总结

本文通过建立新的上下界，推进了对 $d$-叉树可诱导性的理解，尤其针对平衡树和具有相同子树的树。证明了严格 $d$-叉树中最大密度收敛到可诱导性的速率是 $O(n^{-1})$，支持了关于极限精确性的关键猜想，并通过结构分解和叶诱导子树频率的渐近分析，提供了紧致的界。

ABSTRACT

A subset of leaves of a rooted tree induces a new tree in a natural way. The density of a tree $D$ inside a larger tree $T$ is the proportion of such leaf-induced subtrees in $T$ that are isomorphic to $D$ among all those with the same number of leaves as $D$. The inducibility of $D$ measures how large this density can be as the size of $T$ tends to infinity. In this paper, we explicitly determine the inducibility in some previously unknown cases and find general upper and lower bounds, in particular in the case where $D$ is balanced, i.e., when its branches have at least almost the same size. Moreover, we prove a result on the speed of convergence of the maximum density of $D$ in strictly $d$-ary trees $T$ (trees where every internal vertex has precisely $d$ children) of a given size $n$ to the inducibility as $n o \infty$, which supports an open conjecture.

研究动机与目标

• 确定此前未知情况下 $d$-叉树的可诱导性，特别是针对平衡和对称结构。
• 为可诱导性建立一般上下界，尤其当树 $D$ 具有 $d$ 个同构分支时。
• 分析严格 $d$-叉树中最大密度收敛到可诱导性的速度，当 $n \to \infty$ 时，支持一个开放猜想。

提出的方法

• 作者通过构造严格 $d$-叉树 $H_n^d$，利用叶诱导子树的渐近密度 $\eta_d(D)$ 推导出可诱导性的下界。
• 他们应用定理 8，对大小为 $(d-1)n+1$ 的严格 $d$-叉树中的最大密度进行界定，得到 $O(n^{-1})$ 的误差项。
• 对于具有 $d$ 个相同子树的树，他们利用多项式系数和子树的可诱导性推导出紧致界。
• 他们采用概率构造方法：将已知可诱导性极限的树 $T_n^{(i)}$ 组合起来，构建一棵更大的树 $T_n$，使得 $D$ 的副本由每个分支中各选一个副本形成。
• 该方法依赖于二项式系数和多变量多项分布的渐近分析，以估计极限密度。
• 他们证明，可诱导性定义中的上极限可被标准极限取代，从而实现严谨的收敛性分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有 $d$ 个相同分支的 $d$-叉树，其可诱导性的精确值是多少？如何实现紧致界定？
• RQ2 当 $n \to \infty$ 时，$d$-叉树 $D$ 在严格 $d$-叉树中的最大密度收敛到其可诱导性的速度如何？
• RQ3 可诱导性猜想 $I_d(D) = \eta_d(D)$ 是否对所有 $d$-叉树 $D$ 成立？能否通过收敛速率分析加以支持？
• RQ4 能否用其子树的可诱导性来从下方界定 $d$-叉树的可诱导性？
• RQ5 当精确值未知时，$d$-叉树可诱导性的最佳可能下界是什么？

主要发现

• 严格 $d$-叉树中最大密度收敛到可诱导性的速率是 $O(n^{-1})$，支持了 $I_d(D) = \eta_d(D)$ 对所有 $d$-叉树成立的猜想。
• 对于具有 $d$ 个同构子树 $D'$ 的 $d$-叉树 $D$，可诱导性满足不等式 $\frac{\|D\|!}{d^{\|D\|}}\left(\frac{I_d(D')}{\|D'\|!}\right)^d \leq I_d(D) \leq \frac{\|D\|!}{d^{\|D\|}-d}\left(\frac{I_d(D')}{\|D'\|!}\right)^d$，提供了紧致界。
• 对于任意 $d$-叉树 $D$，其分支为 $D_i$，有下界 $I_d(D) \geq \binom{\|D\|}{\|D_1\|,\dots,\|D_d\|}\|D\|^{-\|D\|}\prod_{i=1}^d \|D_i\|^{\|D_i\|}\prod_{i=1}^d I_d(D_i)$，该结果推广了先前的结果。
• 对于三叉树 $T_1$，可诱导性被界定为 $0.08535 \leq I_3(T_1) \leq 0.08537$，显示出极高的紧致性。
• 对于二叉树 $T_2$，下界为 $I_2(T_2) \geq 0.32922$，显著强于早期的下界 $\eta_2(T_2) \approx 0.27650$，而上界为 $I_2(T_2) \leq 0.48387$，表明存在非平凡的间隙。
• 本文证实，可诱导性定义中的极限存在，并可通过对大小为 $(d-1)n+1$ 的严格 $d$-叉树取极限来实现，简化了分析，并支持在极值构造中使用此类树。