[论文解读] Fusion 2-categories and a state-sum invariant for 4-manifolds

Christopher L. Douglas, David Reutter|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 48被引用 102

一句话总结

论文开发了融合2-范畴和球面前融合2-范畴，并构建一个定向奇点4-流形的态和不变量（state-sum invariant），它推广了若干已知的4-流形不变量。

ABSTRACT

We introduce semisimple 2-categories, fusion 2-categories, and spherical fusion 2-categories. For each spherical fusion 2-category, we construct a state-sum invariant of oriented singular piecewise-linear 4-manifolds.

研究动机与目标

• 促使为4D拓扑不变量及高阶范畴中完全对偶化对象寻找统一的高阶范畴框架。
• 引入半数与融合2-范畴，并确立它们作为模2-范畴与多融合范畴之间的关系。
• 给出融合2-范畴的球形性定义，并展示它如何产生一个4-流形的态和不变量。
• 给出一般的态和公式，并展示对已知的4D不变量的特例化。
• 证明态和在通过双星移动(Dual bistellar moves?)改变三角剖分下的不变量性，以确保得到一个分段线性不变量。

提出的方法

• 给出半单与前半单2-范畴的定义，并发展2-范畴的幂等完备（等价完备）理论。
• 将融合2-范畴定义为具对偶和单位简对象的有限半单单态2-范畴。
• 通过在枢范畴中的2-球形迹发展球形性，并确立球形融合2-范畴。
• 使用简单对象和在单纯形标记的简单一态对象态同构1-态，构造定向奇点组合4-流形的态和 Z_C(K)，并给出一个10j型符号 Z(Γ)。
• 证明在标记更改、顶点重新排序以及bistellar moves下的不变量性，以确保得到一个分段线性不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何定义融合2-范畴以产生适用于4D不变量的完全对偶化结构？
• RQ2 在融合2-范畴上哪些条件（球形性）允许构造奇点4-流形的态和不变量？
• RQ3 所得的4D态和不变量如何与并统一现有的不变量（Crane–Yetter–Kauffman、Yetter–Dijkgraaf–Witten、Mackaay、Cui）相关？
• RQ4 态和所需的精确组合框架（标记、维度和10j符号）是什么？
• RQ5 态和不变量是否独立于三角剖分和组合结构？

主要发现

• 引入半单2-范畴并证明它们对应于多融合范畴的模。
• 定义融合2-范畴，并显示它们将1-范畴的融合范畴推广到2-范畴Setting。
• 用2-球形迹来表述融合2-范畴的球形性，并证明它产生一个定义良好的4D态和不变量。
• 使用来自融合2-范畴的简单对象、简单1-态标记和一个由融合2-范畴推导的10j符号，为定向奇点组合4-流形构造态和 Z_C(K)。
• 表明在适当情形下态和不变量可收敛到已知4D不变量（Crane–Yetter–Kauffman、 twisted Yetter–Dijkgraaf–Witten、Mackaay、Cui）。
• 证明不变量与标记骨架、顶点排序和bistellar moves无关，给出奇点4-流形的分段线性不变量。