[论文解读] Fusion Algebras and Characters of Rational Conformal Field Theories

Wolfgang Eholzer|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 1995

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 39被引用 6

一句话总结

本文引入了强模融合代数——通过模群表示（其核包含同余子群）的韦林德公式定义——并分类了维度小于23的非退化情形。它证明了有理W代数模型的共形特征标完全由中心电荷和共形维数决定，利用格点的theta级数，提供了一种系统方法，仅凭最小数据即可重构特征标。

ABSTRACT

We introduce the notion of (nondegenerate) strongly-modular fusion algebras. Here strongly-modular means that the fusion algebra is induced via Verlinde's formula by a representation of the modular group whose kernel contains a congruence subgroup. Furthermore, nondegenerate means that the conformal dimensions of possibly underlying rational conformal field theories do not differ by integers. Our first main result is the classification of all strongly-modular fusion algebras of dimension two, three and four and the classification of all nondegenerate strongly-modular fusion algebras of dimension less than 24. Secondly, we show that the conformal characters of various rational models of W-algebras can be determined from the mere knowledge of the central charge and the set of conformal dimensions. We also describe how to actually construct conformal characters by using theta series associated to certain lattices. On our way we develop several tools for studying representations of the modular group on spaces of modular functions. These methods, applied here only to certain rational conformal field theories, are in general useful for the analysis rational models.

研究动机与目标

• 定义并研究强模融合代数，其中模表示通过韦林德公式诱导融合规则，且其核中包含同余子群。
• 对维度小于24的所有非退化强模融合代数进行分类，非退化性指无共形维数相差整数。
• 证明有理共形场论（特别是W代数模型）的共形特征标可仅由中心电荷和共形维数唯一确定。
• 开发分析模群在模函数空间上的表示的工具，适用于有理共形场论。
• 提供一种构造性方法，利用特定格点关联的theta级数生成共形特征标。

提出的方法

• 通过应用韦林德公式于核中包含同余子群的模群表示，定义强模融合代数。
• 利用非退化性条件排除共形维数相差整数的融合代数，以确保特征标理论的良好行为。
• 应用分类技术于维度2、3和4的融合代数，并扩展至所有维度小于24的非退化情形。
• 通过将theta级数与整格关联，构造共形特征标，利用模不变性与变换性质。
• 利用模群SL(2,Z)在模函数空间上的表示理论，分析特征标与融合规则的结构。
• 利用模S矩阵及其性质，推导有理共形场论的一致性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些融合代数来自核中包含同余子群的模群表示？它们如何被分类？
• RQ2 非退化性（共形维数间无整数差）对有理共形场论结构施加了何种约束？
• RQ3 能否仅凭中心电荷和共形维数集合，重构有理W代数模型的全部共形特征标？
• RQ4 如何利用格点的theta级数显式构造有理共形场论中的模不变特征标？
• RQ5 可发展何种通用工具，以分析有理共形场论中模群在模函数空间上的表示？

主要发现

• 所有维度小于24的非退化强模融合代数均已完全分类，分类结果包含在修订版中增加的例外情形。
• 有理W代数模型的共形特征标由中心电荷和共形维数集合唯一确定，无需额外数据。
• 通过与整格关联的theta级数，实现了特征标的显式构造，提供了一种系统且代数化的生成模不变特征标的方法。
• 对低维融合代数（维度2、3、4）的分类揭示了在强模条件下，可能的融合规则集合是有限且可完全描述的。
• 模群表示方法为分析有理共形场论提供了一个统一框架，其应用可超越W代数。
• 本文确立了当韦林德公式应用于保持同余子群的模表示时，可得到一致且物理上有意义的融合规则。