[论文解读] Fusion and braiding in finite and affine Temperley-Lieb categories

Azat M. Gainutdinov, Hubert Saleur|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 18被引用 18

一句话总结

该论文通过恒等幂子代数，从有限与仿射 Temperley–Lieb 代数构造无限弧塔范畴，建立起具有辫子张量结构的直极限范畴。对于根为单位根处的有限 TL 代数，揭示了与 Virasoro 表示相关联的新非半单、非刚性辫子张量范畴；而对于仿射 TL 代数，提出了一个稳定的 N-graded 融合乘积，并证明了其结合律与辫子结构，暗示其在连续极限下与对数共形场论存在深刻联系。

ABSTRACT

Finite Temperley-Lieb (TL) algebras are diagram-algebra quotients of (the group algebra of) the famous Artin's braid group $B_N$, while the affine TL algebras arise as diagram algebras from a generalized version of the braid group. We study asymptotic `$N o\infty$' representation theory of these quotients (parametrized by $q\in\mathbb{C}^{ imes}$) from a perspective of braided monoidal categories. Using certain idempotent subalgebras in the finite and affine algebras, we construct infinite `arc' towers of the diagram algebras and the corresponding direct system of representation categories, with terms labeled by $N\in\mathbb{N}$. The corresponding direct-limit category is our main object of studies. For the case of the finite TL algebras, we prove that the direct-limit category is abelian and highest-weight at any $q$ and endowed with braided monoidal structure. The most interesting result is when $q$ is a root of unity where the representation theory is non-semisimple. The resulting braided monoidal categories we obtain at different roots of unity are new and interestingly they are not rigid. We observe then a fundamental relation of these categories to a certain representation category of the Virasoro algebra and give a conjecture on the existence of a braided monoidal equivalence between the categories. This should have powerful applications to the study of the `continuum' limit of critical statistical mechanics systems based on the TL algebra. We also introduce a novel class of embeddings for the affine Temperley-Lieb algebras and related new concept of fusion or bilinear $\mathbb{N}$-graded tensor product of modules for these algebras. We prove that the fusion rules are stable with the index $N$ of the tower and prove that the corresponding direct-limit category is endowed with an associative tensor product. We also study the braiding properties of this affine TL fusion.

研究动机与目标

• 通过有限与仿射 Temperley–Lieb 代数的表示范畴的直系统，发展 N → ∞ 时的渐近表示理论。
• 利用恒等幂子代数构造无限弧塔范畴，形成具有辫子张量结构的直极限范畴。
• 研究有限 TL 代数在单位根处的表示理论，揭示非半单、非刚性的辫子张量范畴。
• 为仿射 TL 代数定义并分析一种新型 N-graded 融合乘积（双线性张量积），证明其稳定性与结合律。
• 推测所得到的范畴与某些 Virasoro 代数表示范畴之间存在辫子张量等价关系，与临界格点模型的连续极限相关。

提出的方法

• 通过特定的恒等幂子代数，从有限与仿射 Temperley–Lieb 代数构造无限弧塔图示。
• 定义以 N ∈ ℕ 为标签的表示范畴直系统，为每类代数类型构造一个直极限范畴。
• 通过归纳函子 FN: TLN-mod → TLN+2-mod 定义张量积，保持标准模与投影模。
• 建立满足五边形与六边形恒等式的结合子与辫子结构，证明直极限范畴为辫子张量范畴。
• 为仿射 TL 代数引入一种新的融合乘积，通过仿射 Hecke 代数的诱导模定义，且在 N 下保持稳定。
• 利用仿射 Hecke 代数生成元的矩阵表示计算融合规则，并验证代数关系所生成的理想决定了融合结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 N → ∞ 时，有限 Temperley–Lieb 代数的直极限范畴结构如何？其是否为辫子张量范畴？
• RQ2 有限 TL 代数在单位根处的表示理论行为如何？会涌现出何种新范畴？
• RQ3 能否为仿射 TL 代数定义一个稳定且 N-graded 的融合乘积？其是否满足结合律？
• RQ4 所得到的辫子张量范畴与 Virasoro 代数表示之间存在何种关系？
• RQ5 在仿射 TL 情形下，标准模的融合是否与图示融合规则一致？在何种条件下融合结果非零？

主要发现

• 有限 Temperley–Lieb 代数的直极限范畴在任意 q ∈ ℂ× 下均为阿贝尔范畴且具有最高权结构，并携带辫子张量结构。
• 在单位根处，所得辫子张量范畴为非半单且非刚性，代表了新的数学结构。
• 提出一个关于单位根处直极限范畴与特定 Virasoro 代数表示范畴之间辫子张量等价的猜想。
• 对于仿射 TL 代数，定义了一种新型 N-graded 融合乘积，其融合规则关于 N 稳定，确保归纳极限中的一致性。
• 证明了该融合乘积满足结合律，相应直极限范畴具有结合张量积。
• 通过仿射 Hecke 代数表示的显式计算，确认标准模的融合仅在特定谱参数取值下非零，且与正文图示融合规则一致。