[论文解读] Fusion and convolution: applications to affine Kac-Moody algebras at the critical level

Edward Frenkel, Dennis Gaitsgory|ArXiv.org|Nov 11, 2005

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文通过仿射旗流形上的D-模，首次实现了仿射Kac-Moody代数在临界水平的表示的导出范畴上哈里什-钱德拉卷积作用的几何实现。证明了中心层在该范畴上的作用对应于chiral模的融合积，从而通过格罗滕迪克的变换和对从（opers）几何构造了chiral括号，并验证了临界水平表示结构的关键猜想。

ABSTRACT

Let g be a semi-simple Lie algebra, and let g^ be the corresponding affine Kac-Moody algebra. Consider the category of g^-modules at the critical level, on which the action of the Iwahori subalgebra integrates to algebraic action of the Iwahori subgroup I. We study the action on this category of the convolution functors with the "central" sheaves on the affine flag scheme G((t))/I. We show that each object of our category is an "eigen-module" with respect to these functors. In order to prove this, we use the fusion product of modules over the affine Kac-Moody algebra.

研究动机与目标

• 在仿射Kac-Moody代数的临界水平表示的导出范畴上，建立哈里什-钱德拉卷积作用的几何实现。
• 证明中心层在该范畴上的作用与chiral模的融合积之间存在精确对应。
• 验证如下猜想：在幂零对从（nilpotent opers）上支持的I-单值临界水平模的导出范畴，与涉及格罗滕迪克变换的某个概形上的拟相干层导出范畴等价。
• 通过喷射（jets）和亚纯喷射（meromorphic jets）对环路群上微分算子的chiral代数上的chiral括号提供几何描述。

提出的方法

• 通过仿射旗流形 $\operatorname{Fl}_G = G((t))/I$ 上的D-模，定义 $\widehat{\mathfrak{g}}_{\operatorname{crit}}$-模导出范畴上的哈里什-钱德拉卷积作用。
• 构造与朗兰兹对偶群 $\check{G}$ 的表示 $V$ 相关的中心层 $\mathcal{Z}_V$，其范畴化了仿射赫克代数的中心元素。
• 通过在亚纯喷射空间 $\operatorname{Jets}^{\operatorname{mer}}(G)_{X^2}$ 上的分布，实现chiral代数 $\mathfrak{D}_{G,\kappa}$ 上chiral括号的几何实现。
• 利用 $G((t))$-作用将问题约化到 $G((t))/K$ 中的单位点情形，简化法丛计算。
• 利用 $X \times X - (\Delta_X \sqcup X \times x)$ 上取值于 $G$ 的映射所诱导的仿射格拉斯曼ian $\operatorname{Gr}_{G,X;K}$ 的自同构的群论描述。
• 验证：$\operatorname{Gr}_{G,X;K}$ 上的竖直向量场当且仅当对应的映射在对角线上可正则延拓且其在 $x_2 = x$ 处的泰勒展开属于 $K$ 的李代数时为零。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在几何上实现仿射Kac-Moody代数在临界水平的表示的导出范畴上的哈里什-钱德拉卷积作用？
• RQ2 中心层的作用与chiral模的融合积之间的精确对应关系是什么？
• RQ3 在幂零对从（nilpotent opers）上支持的I-单值临界水平模的导出范畴是否可通过格罗滕迪克变换获得几何描述？
• RQ4 chiral代数 $\mathfrak{D}_{G,\kappa}$ 上的chiral括号如何通过在亚纯喷射空间上的分布来实现？
• RQ5 在 $X \times X - (\Delta_X \sqcup X \times x)$ 上取值于 $G$ 的映射在什么条件下诱导 $\operatorname{Gr}_{G,X;K}$ 中单位截面的平凡形变？

主要发现

• 范畴 $D^b(\operatorname{D}(\operatorname{Fl}_G)_{\operatorname{crit}}{\text{-mod}})^I$ 在 $D^b(\widehat{\mathfrak{g}}_{\operatorname{crit}}{\text{-mod}})^I$ 上的作用通过哈里什-钱德拉卷积实现，其中中心层 $\mathcal{Z}_V$ 作为融合函子起作用。
• chiral代数 $\mathfrak{D}_{G,\kappa}$ 上的chiral括号完全由 $\operatorname{Jets}^{\operatorname{mer}}(G)_{X^2}$ 上的分布描述，chiral模的融合积通过此结构实现几何化。
• 猜想：$\widehat{\mathfrak{g}}_{\operatorname{crit}}{\text{-mod}}_{\operatorname{nilp}}^{I,m}$ 的导出范畴与 $\widetilde{\check{\mathfrak{g}}}/{\check{G}} \times_{\check{\mathfrak{g}}/{\check{G}}} \operatorname{Op}^{\operatorname{nilp}}_{\check{\mathfrak{g}}}$ 上拟相干层的导出范畴等价，本文证明了该等价性的一个关键步骤。
• 当且仅当 $G$-值映射 $\mathbf{g}(x_1,x_2)$ 在对角线上可正则延拓且其在 $x_2 = x$ 处的泰勒展开属于 $K$ 的李代数时，它在 $\operatorname{Gr}_{G,X;K}$ 中诱导单位截面的平凡形变。
• 在点 $\mathbf{g}$ 处，$\operatorname{Gr}_{G,X;K}$ 的单位截面的法丛嵌入一个包含 $L_{\mathfrak{g}}|_{X-x}$ 和切空间 $T_{\mathbf{g}}(G((t))/K)$ 的正合列中，且映射 $L_{\mathfrak{g}}|_{X-x} \to \mathcal{N}_{{\bf 1}_{1,1}(\mathbf{g})}|_{X-x}$ 可延拓为到法丛的D-模映射。
• 映射 $H^0_{\text{DR}}(\mathcal{D}^\times_x, L_{\mathfrak{g}}) \to T_{\mathbf{g}}(G((t))/K)$ 被识别为自然投影 $\mathfrak{g}((t)) \twoheadrightarrow \mathfrak{g}((t))/\mathfrak{k}$，从而确认了chiral结构与群作用的相容性。