[论文解读] Fusion categories between $C \boxtimes D$ and $C * D$

Masaki Izumi, Scott Morrison+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用 8

一句话总结

本文研究了两个融合范畴 $C$ 和 $D$ 的自由积 $C * D$ 与张量积 $C \boxtimes D$ 之间的中间融合范畴，重点关注 $C = D = A_2$ 和 $C = D = T_2$ 的情形。利用水母算法与图示演算，通过参数 $n \geq 1$ 和 $ω$（$n$ 次单位根）对这些复合结构进行分类，并证明当 $C = A_2$，$D = T_2$ 或 $C = D = T_2$ 时，若 $n \geq 4$，则不存在此类复合结构，从而解决了 Bisch 与 Haagerup 的一个猜想，并通过显式图示演算确认了非存在性。

ABSTRACT

Given a pair of fusion categories $C$ and $D$, we may form the free product $C * D$ and the tensor product $C \boxtimes D$. It is natural to think of the tensor product as a quotient of the free product. What other quotients are possible? When $C=D=A_2$, there is an infinite family of quotients interpolating between the free product and the tensor product (closely related to the $A_{2n-1}^{(1)}$ and $D_{n+2}^{(1)}$ subfactors at index 4). Bisch and Haagerup discovered one example of such an intermediate quotient when $C=A_2$ and $D=T_2$, and suggested that there might be another family here. We show that such quotients are characterized by parameters $n \geq 1$ and $ω$ with $ω^{2n}=1$. For $n=1,2,3$, we show $ω$ must be 1, and construct the corresponding quotient ($n=1$ is the tensor product, $n=2$ is the example discovered by Bisch and Haagerup, and $n=3$ is new). We further show that there are no such quotients for $4 \leq n \leq 10$. Our methods also apply to the case when $C=D=T_2$, and we prove similar results there. During the preparation of this manuscript we learnt of an independent result of Liu's on subfactors. With the translation between the subfactor and fusion category settings provided here, it follows there are no such quotients for any $n \geq 4$.

研究动机与目标

• 对融合范畴 $C$ 和 $D$，分类介于自由积 $C * D$ 与张量积 $C \boxtimes D$ 之间的中间融合范畴。
• 研究当 $C = A_2$，$D = T_2$ 时，Bisch 与 Haagerup 所猜想的无限复合家族是否存在。
• 确定此类复合结构存在的条件，特别是对较小的 $n$ 值，并证明当 $n \geq 4$ 时不存在。
• 将分类结果扩展至 $C = D = T_2$ 的情形，并与子因子理论进行比较。

提出的方法

• 使用水母算法对融合范畴中的图示表达式进行演算，特别关注在轨道轨基中边界具有特定形式的图示的演算。
• 该方法涉及对同一图示执行两种不同的水母移动序列，从而在轨道轨基中得到不同的表达式。
• 复合结构的存在性取决于这两种演算结果的一致性；若不一致，则表明不存在。
• 在 Mathematica 中使用 'JellyfishCalculations' 笔记本进行显式计算，对 $n = 1$ 到 $n = 4$ 的情形，计算轨道轨基中态射的系数。
• 参数 $n$ 定义为使得在 $C$ 和 $D$ 的生成元中交替出现的长度为 $n$ 的字彼此同构的最小长度，$ω$ 为 $n$ 次单位根。
• 通过融合范畴与子因子理论之间的对应关系，可借助 Liu 的独立结果，得出对所有 $n \geq 4$，复合结构均不存在的结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 在哪些 $n$ 值和单位根 $ω$ 下，介于 $A_2 * T_2$ 与 $A_2 \boxtimes T_2$ 之间的中间融合范畴存在？
• RQ2 能否将 $A_2 * A_2$ 与 $A_2 \boxtimes A_2$ 之间复合结构的无限家族扩展至 $A_2 * T_2$ 的情形？
• RQ3 对于 $n = 2$ 的情形，Bisch 与 Haagerup 的例子是否是 $A_2 * T_2$ 情形下唯一的可能复合结构？
• RQ4 参数 $ω$ 在分类此类复合结构中起什么作用？为何当 $n = 1,2,3$ 时必须有 $ω = 1$？
• RQ5 在 $A_2 * T_2$ 或 $T_2 * T_2$ 情形下，是否存在 $n \geq 4$ 的此类复合结构？

主要发现

• 当 $C = A_2$，$D = T_2$ 时，仅当 $n = 1, 2, 3$ 且 $ω = 1$ 时存在复合结构；当 $4 \leq n \leq 10$ 时，通过两种水母移动序列对同一图示的不一致演算结果，表明不存在此类复合结构。
• $n = 1$ 对应张量积 $A_2 \boxtimes T_2$，$n = 2$ 与 Bisch-Haagerup 的例子一致，$n = 3$ 为新构造。
• 当 $C = D = T_2$ 时，$n = 2$ 和 $n = 3$ 时存在唯一复合结构，且 $ω = 1$；当 $4 \leq n \leq 10$ 时不存在复合结构，且采用相同的非存在性论证。
• $n \geq 4$ 时的非存在性通过在轨道轨基中显式图示演算得到确认，其中两种不同的水母移动序列导致不一致结果。
• 在 $A_4 - A_4$ 复合结构中，$n = 2$ 和 $n = 3$ 的主图被显式计算，并与已知的子因子图一致。
• 结果与 Liu 的独立子因子结果一致；通过子因子与融合范畴设定之间的转换，可得出对所有 $n \geq 4$，复合结构均不存在的结论。