[论文解读] Fusion Category Symmetry I: Anomaly In-Flow and Gapped Phases

Ryan Thorngren, Yifan Wang|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 49被引用 124

一句话总结

本文发展了用于具有融合范畴对称性的1+1D理论的异常流入与带隙相分类，使用 Turaev-Viro/Levin-Wen 边界构造来刻画异常与纤维函子。

ABSTRACT

We study generalized discrete symmetries of quantum field theories in 1+1D generated by topological defect lines with no inverse. In particular, we describe 't Hooft anomalies and classify gapped phases stabilized by these symmetries, including new 1+1D topological phases. The algebra of these operators is not a group but rather is described by their fusion ring and crossing relations, captured algebraically as a fusion category. Such data defines a Turaev-Viro/Levin-Wen model in 2+1D, while a 1+1D system with this fusion category acting as a global symmetry defines a boundary condition. This is akin to gauging a discrete global symmetry at the boundary of Dijkgraaf-Witten theory. We describe how to "ungauge" the fusion category symmetry in these boundary conditions and separate the symmetry-preserving phases from the symmetry-breaking ones. For Tambara-Yamagami categories and their generalizations, which are associated with Kramers-Wannier-like self-dualities under orbifolding, we develop gauge theoretic techniques which simplify the analysis. We include some examples of CFTs with fusion category symmetry derived from Kramers-Wannier-like dualities as an appetizer for the Part II companion paper.

研究动机与目标

• 在1+1D中动机化广义离散（非可逆）融合范畴对称性及其异常。
• 通过2+1D 的 Turaev-Viro/Levin-Wen 理论定义异常流入，以约束 RG 流与边界条件。
• 对称性保持带隙相进行分类，并将其与模范类与纤维函子联系起来。
• 提供区分对称性保持与对称性破缺相的标准，用于融合范畴对称性。
• 将该框架应用于 Tambara-Yamagami 类别和 Ising 相关对偶性，给出明确示例。

提出的方法

• 描述与融合范畴相关的 Turaev-Viro 理论的带隙边界条件 ，并将其解释为 A-对称边界条件。
• 利用  上的模范类别来分类可能的对称性保持带隙相；将纤维函子识别为非简并 A-对称相的判据。
• 建立一个异常消失条件：A 当且仅当存在一个带隙、非简并的 A-对称边界时才存在。
• 将纤维函子与 G=Vec_G^ 联系起来，并通过边界 hi 的 Coboundaries 解释反项，连接到标准的群同调 SPT 逻辑。
• 分析 Tambara-Yamagami 类别和基于 Ising 的对偶性来阐明框架与异常。

实验结果

研究问题

• RQ1 在1+1D中捕获融合范畴对称性的适当边界数据（模范类别）是什么？
• RQ2 何时融合范畴对称性在1+1D中能够拥有带隙、非简并、对称性保持的相（无异常）？
• RQ3 来自2+1D Turaev-Viro 理论的异常流入如何约束在融合范畴对称性下的1+1D RG 流？
• RQ4 纤维函子在分类 A-对称的带隙相及其边界模态中扮演何种角色？
• RQ5 Tambara-Yamagami 类别与 Ising/Kramers-Wannier 类的对偶性如何实现融合范畴对称性及其异常？

主要发现

• 1. 一个1+1D中的融合范畴对称性被实现为2+1D Turaev-Viro 理论的边界条件，保持对称性的带隙相对应于该融合范畴的模范类别。
• 2. 建立了一个异常消失条件：当且仅当存在一个带隙、非简并的 A-对称边界时，融合范畴才承认一个纤维函子（即存在对称相）。
• 3. 如果一个融合范畴存在具有非整数量子维度的对象，则相关的 Turaev-Viro 理论不能存在带隙、非简并的 A-对称边界。
• 4. 纤维函子（等价地，只有一个简对象的模范类别）分类 A-对称的非简并带隙相（A-SPTs）并决定边缘模态结构。
• 5. 对于 Vec_G^，纤维函子对应满足 delta chi = - omega 的群同调数据，与标准 SPT 异常约束相关。
• 6. 给出 Tambara-Yamagami 类别和有限量子场论示例以阐明异常流入与相的分类。