[论文解读] Fusion of Hamiltonian loop group manifolds and cobordism

Eckhard Meinrenken, Chris Woodward|ArXiv.org|Jul 24, 1997

Geometric and Algebraic Topology参考文献 15被引用 9

一句话总结

本文在三孔球面的平坦联络模空间与复射影空间的不相交并之间构造了一个定向的 bordism，其上配备了一个闭的2-形式，该2-形式在边界上限制为辛形式。该构造通过环路群流形上的等变积分，导出了混合庞特里亚金数与威滕的辛体积公式。

ABSTRACT

We construct an oriented cobordism between moduli spaces of flat connections on the three holed sphere and disjoint unions of toric varieties, together with a closed two-form which restricts to the symplectic forms on the ends. As applications, we obtain formulas for mixed Pontrjagin numbers and Witten's formulas for symplectic volumes.

研究动机与目标

• 通过bordism在三孔球面上平坦联络模空间与toric流形之间建立几何关系。
• 在bordism上构造一个闭的2-形式，使其在边界分量上限制为辛形式。
• 将此构造应用于计算混合庞特里亚金数与威滕的辛体积公式。
• 在辛几何的背景下，将等变上同调技术推广至哈密顿环路群流形。
• 为通过几何bordism理解模空间的拓扑不变量提供统一框架。

提出的方法

• 利用哈密顿环路群流形上的融合构造，在边界分量之间生成bordism。
• 应用等变上同调与局部化技术分析特征类与不变量。
• 在环路群作用的背景下应用Atiyah-Bott局部化公式来计算积分。
• 在bordism上构造一个闭的2-形式，使其在toric流形边界上限制为标准辛形式。
• 依赖三孔球面作为具有三个边界分量的曲面的结构来定义bordism。
• 利用三孔球面上平坦联络模空间微分同胚于有限维辛商这一事实。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在三孔球面上平坦联络模空间与一组不相交的toric流形之间构造bordism？
• RQ2 在此bordism上是否存在一个闭的2-形式，使其在边界分量上限制为辛形式？
• RQ3 能否通过此几何构造计算混合庞特里亚金数？
• RQ4 能否从此bordism框架推导出威滕的辛体积公式？
• RQ5 哈密顿环路群作用在流形上如何促进辛几何中拓扑不变量的计算？

主要发现

• 在三孔球面上平坦联络模空间与一组不相交的toric流形之间构造了一个规范的定向bordism。
• 该bordism携带一个闭的2-形式，其在toric流形分量上限制为标准辛形式。
• 通过在bordism上进行等变积分，计算了模空间的混合庞特里亚金数。
• 威滕的辛体积公式作为bordism与局部化技术的结果被导出。
• 哈密顿环路群流形上的融合构造为辛体积公式提供了几何实现。
• 该方法在等变上同调、环路群几何与经典特征类之间建立了联系，为辛拓扑中的不变量研究提供了桥梁。